大数据：Spark mlib(三) GradientDescent梯度下降算法之Spark实现

1. 什么是梯度下降？

梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。

先来看两个函数：

1.  拟合函数：
θ$\theta$为参数向量，h(θ)就是通过参数向量计算的值，n为参数的总个数，j代表的是一条记录里的一个参数

h(θ)=∑j=0nθjxj

2. 损失函数：

J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

m为训练的集合数，i代表的是一条记录，hθ(xi)代表的是第i条的h(θ)

在监督学习模型中，需要对原始的模型构建损失函数J(θ),  接着就是最小化损失函数，用以求的最优参数θ

对损失函数θ进行求偏导，获取每个θ的梯度

∂J(θ)∂θ=−1m∑i=1m(yi−hθ(xi))xij

,
xij参数代表着x在第i行里的j列的值,算法如下

1. 我们定义一行diff = yi−hθ(xi).      2. 对一行记录里的每一列都乘以diff.    3. 然后计算下一行重复1，2步骤

最小化损失函数，需要按照梯度的负方向更新θ

θ‘j=θj+1m∑i=1m(yi−hθ(xi))xij)

这种被称为梯度下降

2. 梯度下降的几种方式

2.1 批量梯度下降（BGD）

在前面的方式，我们采样部分数据，就称为批量梯度下降

在公式：θ‘j=θj+1m∑i=1m(yi−hθ(xi))xij)

中我们会发现随着计算θ的梯度下降，需要计算所有的采样数据m，计算量会比较大。

2.2  随机梯度下降 (SGD)

在上面2.1的批量梯度下降，采样的是批量数据，那么随机采样一个数据，进行θ梯度下降，就被称为随机梯度下降。

损失函数：J(θ)=1m∑i=1m12(yi−hθ(xi))2

那么单样本的损失函数：m=1 的情况：

12(yi−hθ(xi))2

对单样本的损失函数进行求偏导，计算梯度下降

θ‘j=θj+(yi−hθ(xi))xij

为了控制梯度下降的速度，引入步长α

αα

θ‘j=θj+α(yi−hθ(xi))xij

3. Spark 实现的梯度下降

在代码GradientDescent.scala中

def runMiniBatchSGD(      data: RDD[(Double, Vector)],      gradient: Gradient,      updater: Updater,      stepSize: Double,      numIterations: Int,      regParam: Double,      miniBatchFraction: Double,      initialWeights: Vector,      convergenceTol: Double): (Vector, Array[Double]) = {    // convergenceTol should be set with non minibatch settings    if (miniBatchFraction < 1.0 && convergenceTol > 0.0) {      logWarning("Testing against a convergenceTol when using miniBatchFraction " +        "< 1.0 can be unstable because of the stochasticity in sampling.")    }    if (numIterations * miniBatchFraction < 1.0) {      logWarning("Not all examples will be used if numIterations * miniBatchFraction < 1.0: " +        s"numIterations=$numIterations and miniBatchFraction=$miniBatchFraction")    }    val stochasticLossHistory = new ArrayBuffer[Double](numIterations)    // Record previous weight and current one to calculate solution vector difference    var previousWeights: Option[Vector] = None    var currentWeights: Option[Vector] = None    val numExamples = data.count()    // if no data, return initial weights to avoid NaNs    if (numExamples == 0) {      logWarning("GradientDescent.runMiniBatchSGD returning initial weights, no data found")      return (initialWeights, stochasticLossHistory.toArray)    }    if (numExamples * miniBatchFraction < 1) {      logWarning("The miniBatchFraction is too small")    }    // Initialize weights as a column vector    var weights = Vectors.dense(initialWeights.toArray)    val n = weights.size    /**     * For the first iteration, the regVal will be initialized as sum of weight squares     * if it's L2 updater; for L1 updater, the same logic is followed.     */    var regVal = updater.compute(      weights, Vectors.zeros(weights.size), 0, 1, regParam)._2    var converged = false // indicates whether converged based on convergenceTol    var i = 1    while (!converged && i <= numIterations) {      val bcWeights = data.context.broadcast(weights)      // Sample a subset (fraction miniBatchFraction) of the total data      // compute and sum up the subgradients on this subset (this is one map-reduce)      val (gradientSum, lossSum, miniBatchSize) = data.sample(false, miniBatchFraction, 42 + i)        .treeAggregate((BDV.zeros[Double](n), 0.0, 0L))(          seqOp = (c, v) => {            // c: (grad, loss, count), v: (label, features)            val l = gradient.compute(v._2, v._1, bcWeights.value, Vectors.fromBreeze(c._1))            (c._1, c._2 + l, c._3 + 1)          },          combOp = (c1, c2) => {            // c: (grad, loss, count)            (c1._1 += c2._1, c1._2 + c2._2, c1._3 + c2._3)          })      if (miniBatchSize > 0) {        /**         * lossSum is computed using the weights from the previous iteration         * and regVal is the regularization value computed in the previous iteration as well.         */        stochasticLossHistory += lossSum / miniBatchSize + regVal        val update = updater.compute(          weights, Vectors.fromBreeze(gradientSum / miniBatchSize.toDouble),          stepSize, i, regParam)        weights = update._1        regVal = update._2        previousWeights = currentWeights        currentWeights = Some(weights)        if (previousWeights != None && currentWeights != None) {          converged = isConverged(previousWeights.get,            currentWeights.get, convergenceTol)        }      } else {        logWarning(s"Iteration ($i/$numIterations). The size of sampled batch is zero")      }      i += 1    }    logInfo("GradientDescent.runMiniBatchSGD finished. Last 10 stochastic losses %s".format(      stochasticLossHistory.takeRight(10).mkString(", ")))    (weights, stochasticLossHistory.toArray)  }

3.1 随机梯度？

看函数名字叫做SGD，会以为是随机梯度下降，实际上Spark里实现的是随机批量的梯度下降

我们去看梯度下降的批量算法公式：

θ‘j=θj+1m∑i=1m(yi−hθ(xi))xij)

这个公式可以拆分成两部分

1. 计算数据的梯度
2. 根据梯度计算新的权重

3.2 计算梯度

在前面的章节里描述过随机和批量的主要区别就是在计算梯度上，随机采样只是随机采用单一样本，而批量采样如果采样所有数据，涉及到采样的样本、计算量大的问题，Spark采用了择中的策略，随机采样部分数据

• 先随机采样部分数据

data.sample(false, miniBatchFraction, 42 + i)

• 对部分数据样本进行聚合计算

treeAggregate((BDV.zeros[Double](n), 0.0, 0L))(          seqOp = (c, v) => {            // c: (grad, loss, count), v: (label, features)            val l = gradient.compute(v._2, v._1, bcWeights.value, Vectors.fromBreeze(c._1))            (c._1, c._2 + l, c._3 + 1)          },          combOp = (c1, c2) => {            // c: (grad, loss, count)            (c1._1 += c2._1, c1._2 + c2._2, c1._3 + c2._3)          })

使用treeAggregate，而没有使用Aggregate，是因为treeAggregate比aggregate更高效，combOp会在executor上执行

在聚合计算的seqOp里我们看到了gradient.compute来计算梯度

3.2.1 Spark 提供的计算梯度的方式

• LeastSquaresGradient 梯度，主要用于线型回归
• HingeGradient 梯度，用于SVM分类
• LogisticGradient 梯度，用于逻辑回归

前面章节里描述的就是基于线性回归模型的计算梯度的方式，也就是如下公式：

∑i=1m(yi−hθ(xi))xij)

代码如下：

class LeastSquaresGradient extends Gradient {  override def compute(data: Vector, label: Double, weights: Vector): (Vector, Double) = {    val diff = dot(data, weights) - label    val loss = diff * diff / 2.0    val gradient = data.copy    scal(diff, gradient)    (gradient, loss)  }  override def compute(      data: Vector,      label: Double,      weights: Vector,      cumGradient: Vector): Double = {    val diff = dot(data, weights) - label    axpy(diff, data, cumGradient)    diff * diff / 2.0  }}

3.3 跟新权重theta θ

在梯度下降计算中，计算新的theta（也叫权重的更新），更新的算法由你采用的模型来决定

val update = updater.compute(          weights, Vectors.fromBreeze(gradientSum / miniBatchSize.toDouble),          stepSize, i, regParam)

目前Spark默认提供了3种算法跟新theta

• SimpleUpdater  
• L1Updater   
• SquaredL2Updater

3.3.1 SimpleUpdater

以SimpleUpdater来说：

class SimpleUpdater extends Updater {  override def compute(      weightsOld: Vector,      gradient: Vector,      stepSize: Double,      iter: Int,      regParam: Double): (Vector, Double) = {    val thisIterStepSize = stepSize / math.sqrt(iter)    val brzWeights: BV[Double] = weightsOld.asBreeze.toDenseVector    brzAxpy(-thisIterStepSize, gradient.asBreeze, brzWeights)    (Vectors.fromBreeze(brzWeights), 0)  }}

也就是上面提到的公式：θ‘j=θj+α∗

相对来说simpleupdater算法比较简单，在这里没有使用正则参数regParam，只是使用了每个迭代的步长作为相同的因子，计算每一个theta，也就是权重。

迭代的步长=总步长/math.sqrt(迭代的次数)

关于正则化参数，在这篇博客里就不叙述了。

3.3.2 其它的正则参数化算法

L1Updater： 正则化算法

1. 和SimpleUpdater一样更新权重
2. 将正则化参数乘以迭代步长的到比较参数：shrinkage
3. 如果权重大于shrinkage，设置权重-shrinkage
4. 如果权重小于-shrinkage，设置权重+shrinkage
5. 其它的，设置权重为0

SquaredL2Updater：正则化算法

w' = w - thisIterStepSize * (gradient + regParam * w)

和SimpleUpdater比较，补偿了regParam*w ,这也是逻辑回归所采用的梯度下降算法的更新算法

4.  梯度下降收敛条件

如何判定梯度下降权重值收敛不在需要计算，通常会有两个约束条件

• 迭代次数，当达到一定的迭代次数后，权重的值会被收敛到极值点，并且不会受到次数的影响
• 筏值：当两次迭代的权重之间的差小于指定的筏值的时候，就认为已经收敛

在Spark里使用了L2范数来比较筏值

  private def isConverged(      previousWeights: Vector,      currentWeights: Vector,      convergenceTol: Double): Boolean = {    // To compare with convergence tolerance.    val previousBDV = previousWeights.asBreeze.toDenseVector    val currentBDV = currentWeights.asBreeze.toDenseVector    // This represents the difference of updated weights in the iteration.    val solutionVecDiff: Double = norm(previousBDV - currentBDV)    solutionVecDiff < convergenceTol * Math.max(norm(currentBDV), 1.0)  }

当前后权重的差的L2，小于筏值*当前权重的L2和1的最大值，就认为下降结束。