[COGS2632] [HZOI 2016] 数列操作d

题目

一个长度为n的序列，一开始序列数的权值都是0,有m次操作
支持两种操作，
1 L R x，给区间[L,R]内位置为pos的数加上(pos−L)⋅x
0 L R，查询区间[L,R]内的权值和
最终答案对1e9+7取模

题解

这是我偶然翻到学弟学妹们出的一道题，于是就做了做。
首先这道题肯定能用线段树做，随便打打标记。
但是这道题也可以用树状数组做，更快，但是思想应该比线段树复杂些，就当是锻炼一下了。
下面是树状数组做法。

便于理解，将题目中的x用k表示。
树状数组求区间[L,R]权值和的一般做法就是Sum(R)−Sum(L−1)。于是，首要任务就是找到正确的单点插入方法，使得可以利用树状数组求出Sum(x)。

首先考虑只有一次插入[L1,R1] k1，那么Sum(x)如何求得呢？注意到，每次插入都很有规律，相当于一条线段，所以可以容易求出这个插入区间的一个区间段上的区间和。

• 当L1≤x≤R1时，
  Sum(x)=∑i=1L1−10+∑i=L1x(i−L1)⋅k1=(x−L1)(x−L1+1)k1/2
  
  令K=k/2
  
  Sum(x)=(x−L1)(x−L1+1)K1=x2(K1)+x(1−2L1)K1+(L21−L1)K1
  
  注意到K1,(1−2L1)K1,(L21−L1)K1都与x无关，对[L1,R1]中每个Sum(x)都不变，于是可以单点插入这三种值，记他们为A1,B1,C1，分别插入到树状数组A,B,C中，分别代表二次项系数、一次项系数和常数项，则Sum(x)=A1x2+B1x+C1。
• 当x>R1时，这条线段不存在了，那么在R1+1处插入−A1,−B1,−C1，但这条线段对Sum(x)有贡献，需要将他的贡献K1(R1−L1)(R1−L1+1)插入到常数项的R1+1位置。

现在考虑多条线段的情形，容易发现可以线性叠加，求出2的逆元，优化一下代码，这道题就做完了。

代码

/// by ztx/// blog.csdn.net/hzoi_ztx#include <bits/stdc++.h>#define Rep(i,l,r) for(i=(l);i<=(r);i++)#define rep(i,l,r) for(i=(l);i< (r);i++)#define Rev(i,r,l) for(i=(r);i>=(l);i--)#define rev(i,r,l) for(i=(r);i> (l);i--)#define Each(i,v)  for(i=v.begin();i!=v.end();i++)#define r(x)   read(x)typedef long long ll ;typedef double lf ;int CH , NEG ;template <typename TP>inline void read(TP& ret) {    ret = NEG = 0 ; while (CH=getchar() , CH<'!') ;    if (CH == '-') NEG = true , CH = getchar() ;    while (ret = ret*10+CH-'0' , CH=getchar() , CH>'!') ;    if (NEG) ret = -ret ;}#define  kN   300010LL#define  mod  1000000007LL#define  half 500000004LL#define  lb   (p&(-p))int n, A[kN], B[kN], C[kN];inline void Delta(int p,int w,int c[kN]) {    for (;p<=n;p+=lb) (c[p] += w) %= mod;}inline int Sum(int p,int c[kN]) {    int ret = 0;    for (;p;p-=lb) (ret += c[p]) %= mod;    return ret;}inline int Sum(int p) {    return (1LL*Sum(p,A)*p%mod*p%mod+1LL*Sum(p,B)*p%mod+1LL*Sum(p,C)%mod)%mod;}inline void Modify(int L,int R,ll x) {    x = x*half%mod;    Delta(L,x,A);    Delta(L,x*(1LL-2*L)%mod,B);    Delta(L,x*L%mod*(L-1)%mod,C);    Delta(R+1,-x,A);    Delta(R+1,-x*(1LL-2*L)%mod,B);    Delta(R+1,(-x*L%mod*(L-1)%mod + x*(R-L)%mod*(R-L+1)%mod)%mod,C);}inline void Query(int L,int R) {    printf("%lld\n", ((1LL*Sum(R)-Sum(L-1))%mod+mod)%mod);}int main() {    freopen("segment.in","r",stdin);    freopen("segment.out","w",stdout);    int m, L, R, x;    r(n), r(m);    while (m --> 0) {        r(L);        if (L)            r(L), r(R), r(x),            Modify(L,R,x);        else            r(L), r(R),            Query(L,R);    }    END: getchar(), getchar();    return 0;}