hdu 1028 Ignatius and the Princess III (整数拆分）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

题目大意：整数拆分，把一个整数拆分，以4为例

                  4 = 4;
                  4 = 3 + 1;
                  4 = 2 + 2;
                  4 = 2 + 1 + 1;
                  4 = 1 + 1 + 1 + 1;

                  问能拆分成几种情况？ 

 分析：直接用母函数来解。

 普通型母函数：(感觉这东西很难理解， 但是理解之后就很简单)

                          

首次理解一个多项式，（1 + a1x）（1 + a2x）（1 + a2x）...（1 + anx） = 1 + （a1 + a2 + ... +  an）x + （a1a2 + a1a3 + ... + a1an）x^2 + ... + a1a2...anx^n
由上式可得：
1、x项的系数是n个元素中选取一个元素组合的全体
2、x^2项的系数是n个元素中选取两个元素组合的全体

n、x^n项的系数是n个元素中选取n个元素组合的全体

所以可以得到（1 + x）^n = 1 + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + ... + C(n,n)x^n

由此就可以构造一个母函数G（x）= a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... + anx^n

其实学到这里我也是一脸懵逼的，完全不知道这到底有什么用，那么接下来直接看一个例子吧。

eg：有质量为1，2，3的砝码各一枚，问：
    （1）、可以称出多少种不同质量的物品？
    （2）、要称出质量为3的物品，有几种可能的方案?
解：构造母函数G（x）= （1 + x）（1 + x^2 ) （1 + x^3）= 1 + x + x^2 + 2x^3 + x^4 + x^5 + x^6

     由上式可知：

    （1）、可以称出1-6，6中质量，各项的系数就是每种质量的方案数量

    （2）、x^3的系数为2，所以可以称出质量为3的物品的可能方案数为2（幂指数为质量）

了解了母函数，接下来只要用程序把母函数展开就好了，结合代码自己理解吧

ac代码：

#include<cstdio>#define M 125int c1[M], c2[M];//c1为保存，c2为临时保存void init(){for(int i = 0; i <= M; i++)//保存第一个小括号里的指数{c1[i] = 1;c2[i] = 0;}for(int i = 2; i <= M; i++)//从第二个小括号里的指数开始到第M个{for(int j = 0; j <= M; j++)//从j个小括号的第一项开始到第M项for(int k = 0; k + j <= M; k = k + i)//已保存的项的指数c2[k + j] = c2[k + j] + c1[j];for(int j = 0; j <= M; j++){c1[j] = c2[j];c2[j] = 0;}}}int main(){int n;init();while(scanf("%d", &n) != EOF)printf("%d\n", c1[n]);return 0;}

若理解有误，请指出。。。