（坑）网络流浅谈

神奇的网络流QAQ。。

最小割：

割：将原图G中点分为S,T两个点集，连接S到T的边集就是割。

对于从起点到终点的一条路径上的割线，其权值一定>=min(路径上边的权值)。

而对于一条流，其流量一定<=min(路径上边的权值)。

所以有最小割=最大流。

二分图最大匹配：

二分图：图中所有点可以分成两类S,T,其中任意一类中点没有边相连。所有边都连接S，T。

对于边集Q∈G,如果Q中任意两条边不连接一个顶点，且边数最大，即为最大匹配。

一般用匈牙利算法求解，此算法本质上也是最大流， 但不需要建模，而是利用了二分图的特点，简化了最大流算法。

其仍然是每次都找一条增广路径，直到没有解时停止。

最小路径覆盖：

对于一个路径集P，任意M∈P，M不与M’有节点相交。且路径覆盖了图G中所有节点。

即为最小路径覆盖。

求解方式：图G中节点数-最大匹配。

我们将原图每一个节点拆分为i和i'。构造出一个二分图，求出新图的最大匹配。

证明：

上图中，对应左边的DAG构造了右边的二分图，可以找到二分图的一个最大匹配M：1->3' 3->4'，那么M重的这两条匹配边怎样对应DAG中的路径的边呢？
使二分图的一条边对应于DAG中的一条有向边：1->3'对应于左图的1->3，这样DAG中的1就有一个后继结点（3回事1的唯一后继结点，因为二分图中的一个顶点之多关联一条边！），所以1不会成为DAG中的一条路径中的结尾顶点，同样，3->4'对应于左图的3->4，3也不会成为结尾顶点，那么原图中总共有4个顶点，减去2个有后继的顶点，还有两个顶点，即DAG路径的结尾顶点，每个即为顶点对应一个路径。二分图中寻找最大匹配M，就是找到了对应DAG中的非路径结尾顶点的最大数目，那么DAG中|V|-|M|就是DAG中结尾顶点的最小数目，即DAG的最小路径数目。

二分图最小点覆盖：

用最少的点覆盖图中所有边，可以证明与最大匹配相等。

证明：

因为已知了最大匹配，所有再也不能找到增广路了，有最大匹配定义知。

现在所有的边就剩下两种情况了，一种是匹配，一种是不匹配。

假设所有的匹配边有n条，那么左右边就都有n个匹配边的顶点了，标记所有左边匹配边的顶点，则有n个。

问题就是证明n=最小点覆盖，即证明最大匹配数n到底能不能覆盖所有的边入手。

考察右边的匹配边的顶点，明显，左边都可以找到其匹配点且为n，说明所有匹配边已经被这左边的n个点关联了。

接下来证明未匹配边也能被这左边的n个匹配的点关联那么不就证明了“，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖）”吗。。

对于剩下的未匹配边，每条边都有一个右边点（显然既然是未匹配边，这个点自然是未匹配点）和左边点（我将证明着些左边点都是匹配边的顶点，证明了这一点，也就证明了这左边的n个点也和剩下的未匹配边关联了）

假设上面说的左边点不在这n个匹配边的左边点之中，那从剩下的某个未匹配边的右边点出发不就可以找到增广路了吗（想想增广路的定义就知道了，右未匹配，左未匹配的话那就可以找到增广路了），所以左边点也在匹配边之中，。所以就证明了剩下的未匹配边关联的范围也在这左边的n个匹配点的范围内力了。

也就证明了这n个左边匹配边的点既也右边匹配边关联，也与右边未匹配边关联了，即与所有边关联了。

那么按照最小覆盖的定义，接下来只要证明这个n是做小值就行了。

假设可以比n小，那就相当于随便删一些匹配边，那么这些删除了边的右边点就没人匹配了，也就不满足与所以边关联了，所以矛盾，所有n就是最小值。

故得证。

二分图最大独立集：

答案是总数减去最小点覆盖。

上图，我们用两个红色的点覆盖了所有边。我们证明的前提条件是已经达到最小覆盖。
即条件1.已经覆盖所有边，条件2.所用的点数最小
首先我们来证明蓝色点组成的是一个独立集：如果有两个蓝色点间有边相连，那么这条边则没有被覆盖，则与条件1矛盾。因此是独立集。
再来证明这个独立集最大： 如果我们要再增加这个独立集中的点，则需要把某个红点变成蓝点。而由最小覆盖数=最大匹配数的证明我们知道，每一个红点是最大匹配中的一个匹配点，也就是说每个红点至少连接了一条边。因此当我们将某个红点变成蓝点时，我们需要牺牲的蓝点的个数是大于等于1的。也就是说，我们最多只能找到数量相等的其他独立集，而无法找到数量更大的。因此蓝色点集必定为最大独立集。 蓝色点数 = 总点数 - 红色点数，即最大独立集=总数-最小覆盖集。

二分图最大权匹配:KM算法（还不会）

最小点权覆盖：

从x或者y集合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。 

将原二分图中的边(u,v)替换为容量为INF的有向边(u,v)，设立源点s和汇点t，将s和x集合中的点相连，容量为该点的权值；将y中的点同t相连，容量为该点的权值。在新图上求最大流，最大流量即为最小点权覆盖的权值和。

最大点权独立集：

最大权闭合子图：

最小边覆盖：