有上下界的网络流问题学习笔记

刚刚学了有上下界的网络流问题，总结一下。

大概可以分为4种：

1、无源汇的可行流

2、有源汇的可行流

3、有源汇的最大流

4、有源汇的最小流

无源汇的可行流

想像一条水循环系统，无源汇的可行流就是流量在整张图里循环，每一个节点都满足流量守恒，没有源点和汇点这样的特殊点。

但是，在这个问题中，每条边都有一个容量下限Bi和一个容量上限Ci。上限好理解，就是普通最大流中的东西，但下限怎么处理？

想象，如果在这张流网络满足每条边的流量都在【Bi，Ci】内，那么对于每个节点，流经它的流量至少为它的入边的下限和，流出它的流量至少为它出边的下限和。

怎么限制住这个条件呢？于是我们人为地加入一个源点S和汇点T：

S：向每个节点连一条边，容量为它入边的下限和

T：每个节点向T连一条边，容量为它出边的下限和

       对每条其它的边，容量变为Ci-Bi，即为正常的最大流的边。

为什么能这样呢？

每条边上的流量可以分为两种：限制流和自由流

        限制流就是为了满足下限而必须存在的流，也就是该边的下限

        自由流即超出下限的那一部分

我们加入S和T，砍掉其它边的下限，相当于把其它边的限制流抢了过来，由S和T管理，这样子剩下的就是自由流，可以为任意流量。

这样一来，如果该流网络存在可行流，当且仅当求出S到T的最大流后S的出边都满载，T的入边都满载。

ZOJ2314 Reactor Cooling

#include<iostream>#include<cstdio>#include<queue>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=205,maxm=80005,INF=2000000000;int inf[maxn],outf[maxn];inline int read(){int out=0,flag=1;char c=getchar();while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();}return out*flag;}int head[maxn],nedge=0;class EDGE{public:int to,next,f,b;}edge[maxm];inline void build(int a,int b,int w,int l){edge[nedge]=(EDGE){b,head[a],w,l};head[a]=nedge++;edge[nedge]=(EDGE){a,head[b],0,l};head[b]=nedge++;}int cur[maxn],S,T,d[maxn];bool vis[maxn];bool bfs(){fill(vis,vis+maxn,false);queue<int> q;q.push(S);d[S]=0;vis[S]=true;int u,to;while(!q.empty()){u=q.front();q.pop();for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next)if(!vis[to=edge[k].to]&&edge[k].f){d[to]=d[u]+1;vis[to]=true;q.push(to);}}return vis[T];}int dfs(int u,int minf){if(u==T||!minf) return minf;int flow=0,f,to;if(cur[u]==-2) cur[u]=head[u];for(int& k=cur[u];k!=-1;k=edge[k].next)if(d[to=edge[k].to]==d[u]+1&&(f=dfs(to,min(minf,edge[k].f)))){edge[k].f-=f;edge[k^1].f+=f;flow+=f;minf-=f;if(!minf) break;}return flow;}int maxflow(){int flow=0;while(bfs()){fill(cur,cur+maxn,-2);flow+=dfs(S,INF);}return flow;}int main(){int CNT=read();while(CNT--){fill(head,head+maxn,-1);fill(inf,inf+maxn,0);fill(outf,outf+maxn,0);nedge=0;int N=read(),M=read(),a,b,l,r;S=0;T=N+1;for(int i=1;i<=M;i++){a=read();b=read();l=read();r=read();outf[a]+=l;inf[b]+=l;build(a,b,r-l,l);}int cnt=0,flow;for(int i=1;i<=N;i++) build(S,i,inf[i],0),cnt+=inf[i];for(int i=1;i<=N;i++) build(i,T,outf[i],0);flow=maxflow();//cout<<cnt<<' '<<flow<<endl;if(cnt==flow){printf("YES\n");for(int i=0;(i>>1)<M;i+=2) printf("%d\n",edge[i^1].f+edge[i^1].b);}else printf("NO\n");}return 0;}

有源汇的可行流

与无源汇的可行流类似，有源汇的可行流就是多了个源点和汇点。这个时候我们可以从另一个角度来看网络流：虽然S和T不满足流量限制，但如果我们人为连一条由T到S的容量为正无穷的边，那么它就转化成了所有点都遵循容量限制的无源汇的流网络。

那么我们再加一个超级源点S‘和超级汇点T’【就相当于上边的人为加入的源汇点】，就可以转化为无缘汇的可行流啦。

有源汇的最大流

有源汇的最大流就是在求出有源汇的可行流之后去掉加入的T到S的无穷大的边，然后再在求完可行流的残量网络中求一遍由S到T的最大流即为最大流

最后结果为可行流中边T->S的流量+新一次最大流中新增的流量。

有源汇的最小流

求法：

1、同样加一个超级源S‘，超级汇T’，【这个时候不加边T->S】求一遍S‘到T’最大流

2、加入边T->S【正无穷】，再求一遍S‘到T’最大流。

3、若S‘出去的边不满流，T’进来的边不满流，则无解，否则解为T->S边的流量。【这些流量为使可行流成立必须加的流】

我很辣鸡，只知道这些。