组合数取模的各种方法

借用一下kqp学长的ppt

Lucas定理

预处理前缀和计算小于105的C.

中国剩余定理

终于到我自己写了

那么现在求的是Cmn modpc的值。
拆出式子，n(n−1)...(n−m+1)m!。
由于pc不一定与1..n的数互质，所以可能没有逆元。因此我们要避免除法，先将所有p提出，将原式写为

pk ∗ jc(n)∗jc−1(n−m)∗jc−1(m)

jc(x)表示的是x!′（去掉所有p） mod pc，
jc−1(x)表示的是jc(x)关于pc的逆元。

Part1. 求k的值

这个可以分治着做。 设g(n)表示n!含有的p的指数和（k）。
g(n)=g(⌊np⌋)+⌊np⌋
因为p至少是2，所以O(logn)

part2.求jc(n)的值

我们依旧分治着求。
jc(n)=sum(n)+jc(⌊np⌋)，设sum(n)为1..n中与q互质的数的乘积%p^c.

稍微解释一下，n!去掉所有p=是所有与p互质的数的乘积 * 与p不互质的数去掉所有p
不互质的数就是p,2p...，提出一个被去掉的p也就是1,2...⌊np⌋
那么sum怎么求呢？ 可以用mod pc的循环节快速求。

时间复杂度分析

不难看出，求解时间就是O(logp+ pc)，比较昂贵，特别是在p为一个大质数乘上小质数时。

不要方，可以发现，当c=1时，可以直接套用Lucas定理求解Cmn modp，
又因为对于一般小于等于sqrt(2^61)约等于10^10次方的模数，若c>1，则p不会大于105，因此时间复杂度我们可以视为105数量级的。虽然还是很大..

更优的方法？

似乎暂时无法理解。 所以留坑，丢个吼文链接

author: skywalkert
original article: http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/52553048
last update time : 2017-03-30