【GDOI2018模拟7.9】组合数问题

Description

Input

四个数n,p,k,r

Output

一个整数表示答案

Sample Input

input 1:
2 10007 2 0
input 2:
20 10007 20 0

Sample Output

output 1:
8
output 2:
176

Data Constraint

Solution

这个出题人很良心啊，这么多可以水分的数据范围
直接上正解
考虑此题中C的意义
就是选了一堆物品，数量%k=r的方案数
那么考虑DP
设f[i][j]表示前i个数选的数量%k=j的方案数
那么f[i][j+1]=f[i][j]+f[i][j−1]
即这一次是否选两种方式转移
注意，这里的-1是%k意义下的-1
那么这个DP可以用矩阵乘法优化，然后就可以过了
还有一种优化：可以发现这个DP满足结合律，所以可以直接对DP方程进行快速幂

Code

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#define fo(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)#define N 60#define ll long longusing namespace std;ll a[N][N],b[N][N],c[N][N],n,m,mo,k,r,ans=0;void cl(){    fo(i,0,n) fo(j,0,n) c[i][j]=a[i][j],a[i][j]=0;}void ch1(){    cl();    fo(i,0,n) fo(j,0,n) fo(k,0,n) a[i][k]=(a[i][k]+c[i][j]*b[j][k])%mo;}void ch(){    cl();    fo(i,0,n) fo(j,0,n) fo(k,0,n) a[i][k]=(a[i][k]+c[i][j]*c[j][k])%mo;}void mi(ll x){    if(x<=1) return;    fo(i,0,n) fo(j,0,n) b[i][j]=a[i][j];    mi(x/2);    ch();    if(x%2==1) ch1();}ll mi1(ll a,ll b){    if(b==0) return 1;    if(b==1) return a;    ll k=mi1(a,b/2);    k=(k*k)%mo;    if(b%2==1) k=(k*a)%mo;    return k;}ll C(ll m,ll n){    double jy=1,k=n;    fo(i,m-n+1,m)    {        if(k>0)jy=jy*i/k;        k--;    }    return jy;}int main(){    scanf("%lld%lld%lld%lld",&m,&mo,&k,&r);    if(k==1)    {        ans=mi1(2,m);        fo(i,0,r-1)         ans=(ans-C(m,i)+mo)%mo;        printf("%lld",ans);        return 0;    }    memset(a,0,sizeof(a));    fo(i,0,k-1)    {        fo(j,i,min(i+1,k-1))         a[i][j]=1;    }    a[k-1][0]=1;    n=k-1;mi(k*m);    fo(i,0,n) fo(j,0,n) b[i][j]=a[i][j],a[i][j]=0;    a[0][0]=1;    ch1();    printf("%lld",a[0][r%k]);}