差分约束系统

定义

由n个变量和一系列形如xi−xj<=k（k是常数）的不等式组成的系统称为差分约束系统。

求解

分析最短路模型，我们会发现求得最短路（将i的最短路设为dis(i)）之后，对于任何边（设为x->y长度为z），都有：
dis(x)+z>=dis(y)
这感觉怎么这么眼熟呢……
dis(y)−dis(x)<=z
然后我们就惊奇的发现最短路和差分约束系统竟有异曲同工之妙！

所以我们对于xi−xj<=k，构造一条j->i的长度为k的边，然后随便乱刷最短路（起点乱给+初值乱给:P，因为根据上面的分析我们知道只要是最短路就是满足的）就是一组可行解。举个例子：
x1−x2<=1
x3−x2<=3
x3−x4<=−1
x4−x5<=−4
建完图，我们令1是起点，且dis(1)=0，其余=INF：

红色的数字即为最短路，大家可以自行验证这组解的正确性。我们还可以发现，一组可行解均加上一个相同的实数，依然还是可行解（这个很显然）。

但我们好像忽略了一种特殊的情况：无解。来看：
x1−x2<=1
x2−x1<=−2
这组数据显然会掉进负环里：

这其实就对应了无解，因为最短路不存在，意味着解也不存在了。

差分约束系统的求解其实很简单（最短路菜鸡都会打好吗？），最重要的是转化和建图。

特殊解

求解查分约束系统特殊解好像有三个套路：
1.令所有点的dis=k（k是常数，一般给0），这样求出来的解就比较接近。
2.令随便一个点x的dis=0，其他给INF，这样求出来的解与x的差距就较大。
3.令随便一个点x的dis=0，其他给-INF，求最长路，这样求出来的解与x的差距就较小。
正确性好像比较显然，但是并不会严格证明啊QAQ。