B树

1. 引子

动态查找树主要有：

二叉查找树（Binary Search Tree）

平衡二叉查找树（Balanced Binary Search Tree）

红黑树(Red-Black Tree )，

B-tree

B+-tree

B*-tree 

前三者是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度O(log2N)与树的深度相关，那么降低树的深度自然会提高查找效率。 

但是我们要面对这样一个实际问题，大规模数据存储中，实现索引查询是在这样一个实际背景下的，即树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下，那么如何减少树的深度，一个基本的想法就是：采用多叉树结构。 

这样我们就提出了一个新的查找树结构——多路查找树。根据平衡二叉树的启发，自然就想到平衡多路查找树结构，也就是这篇文章所要阐述的第一个主题B-tree（B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思）。

在开始介绍B-tree之前，先了解下相关的硬件知识，才能很好的了解为什么需要B-tree这种外存数据结构。 

2.外存储器—磁盘

计算机存储设备一般分为两种：内存储器(main memory)和外存储器(external memory)。 

内存存取速度快，但容量小，价格昂贵，而且不能长期保存数据(在不通电情况下数据会消失)。

外存储器，一般指磁盘，是一种直接存取的存储设备，容量大、数据可以持久保存。

 

2.1 磁盘的构造

磁盘是一个扁平的圆盘(与电唱机的唱片类似)。盘面上有许多称为磁道的圆圈，数据就记录在这些磁道上。磁盘可以是单片的，也可以是由若干盘片组成的盘组，每一盘片上有两个面。如6片盘组为例，除去最顶端和最底端的外侧面不存储数据之外，一共有10个面可以用来保存信息。

当磁盘驱动器执行读/写功能时。盘片装在一个主轴上，并绕主轴高速旋转，当磁道在读/写头(又叫磁头) 下通过时，就可以进行数据的读 / 写了。

一般磁盘分为固定头盘(磁头固定)和活动头盘。固定头盘的每一个磁道上都有独立的磁头，它是固定不动的，专门负责这一磁道上数据的读/写。活动头盘 (如上图)的磁头是可移动的。每一个盘面上只有一个磁头(磁头是双向的，因此正反盘面都能读写)。它可以从该面的一个磁道移动到另一个磁道。

所有磁头都装在同一个动臂上，因此不同盘面上的所有磁头都是同时移动的(行动整齐划一)。当盘片绕主轴旋转的时候，磁头与旋转的盘片形成一个圆柱体。各个盘面上半径相同的磁道组成了一个圆柱面，我们称为柱面 。因此，柱面的个数也就是盘面上的磁道数。 

 

2.2 磁盘的读/写原理和效率

磁盘上数据必须用一个三维地址唯一标示：柱面号、盘面号、块号(磁道上的盘块)。

读/写磁盘上某一指定数据需要下面3个步骤：

(1) 首先移动臂根据柱面号使磁头移动到所需要的柱面上，这一过程被称为定位或查找 。

(2) 根据盘面号来确定指定盘面上的磁道。

(3) 盘面确定以后，盘片开始旋转，将指定块号的磁道段移动至磁头下。

经过上面三个步骤，指定数据的存储位置就被找到。这时就可以开始读/写操作了。

访问某一具体信息，由3部分时间组成：

● 查找时间(seek time) Ts: 完成上述步骤(1)所需要的时间。这部分时间代价最高，最大可达到0.1s左右，一般可以在10ms左右。

● 等待时间(latency time) Tl: 完成上述步骤(3)所需要的时间。由于盘片绕主轴旋转速度很快，一般为7200转/分。因此一般旋转一圈大约8ms左右。

● 传输时间(transmission time) Tt: 数据通过系统总线传送到内存的时间，一般传输一个字节(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s 

磁盘读取数据是以盘块(block)为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间。

所以，在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时，首先需要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，尽量减少随机IO，需要一种合理高效的外存数据结构，就是下面所要重点阐述的B-tree结构，以及相关的变种结构：B+-tree结构和B*-tree结构。

 

 

3.B树 

3.1 定义

B树又叫平衡多路查找树。B树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。与红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，如下文即将要介绍的B+树，B*树来存储信息。

3.2 特点

B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。

一棵m阶的B树 ，每个节点包含最多ｍ－１的关键字信息，以及最多ｍ的指向字节点的指针信息。关键字顺序存放。具体的特性如下：

　　 1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

       2.根结点的儿子数为[2, M]；

       3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2(取上整), M]；

       4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

       5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

       6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的

子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

       8.所有叶子结点位于同一层；

       9.关键字集合分布在整颗树中；

       10.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

       11.搜索有可能在非叶子结点结束；

 

3.3 查询举例

假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。

下面，咱们来模拟下查找文件29的过程：

1 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】    

2 此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现17<29<35，因此我们找到指针p2。

3 根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】    

4 此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发,26<29<30，因此我们找到指针p2。

5 根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】    

6 此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文,29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

 

分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作时影响整个B树查找效率的决定因素。

当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘4次，最多5次，而且文件越多，B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。

4. B+树

4.1 定义

B+tree：是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的差异在于：

      1.非叶子节点的指针个数与关键字个数相同

      2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

      3. 所有的非终端结点可以看成是索引部分，仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

4.2 特点

B+tree比B树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引，原因有如下几点：

1) B+tree的磁盘读写代价更低

B+tree的内部结点并没有具体的关键字信息，因此其内部结点相对B 树更小，那么同一盘块中就可以存放更多的内部节点，所能容纳的关键字数量也就越多，由于磁盘读取的基本单位是盘块，从而一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多，相对来说读写次数也就降低了。

2) B+tree的查询效率更加稳定

由于非终结点并不是指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引，所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。 

4.3 B+树的分裂

当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

 

5.B*tree

B*tree是B+tree的变体，在B+ 树非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中关于兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟结点也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。