密码学笔记2 数论之趣

数论

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
——百度百科

哥德巴赫猜想
（1742年），每一个大偶数都可以写成两个素数之和，我们称之为“1+1”。目前这个猜想尚未被证明。

1966年陈景润发表论文《大偶数表为一个素数与不超过两个素数乘积之和》，即“1+2”。

水仙花数
一个具有n(≥3)位数字的整数，它等于每个数字的n次幂之和，如：

153=13+53+33

8028=84+04+24+84

回文素数
如13和31，这两个素数正好是个位数与十位数对换的结果。在数论中，这样的两个素数就是回文素数。

模余运算
12/3和12/-9的余数是一样的，模余运算用mode表示，即

12mod3==12mod−9

同余*
对于两个整数a和b，给定一个整数n，如果n分别除以a和b的余数相同，那么称a和b关于模n同余，记为a ≡ b(mod n)。
同余的充要条件是：

m|b−a

如[3–(-9)]|12，所以有3 ≡ (-9) mod 12

自反性：即自己和自己同余，即a≡a(mod n)
对称性：若 a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)
传递性：若 a≡b(mod n)，且b≡c(mo n)，则a≡c(mod n)

同余加法：
若 a≡b(mod n),c≡d(mod n)，那么：
a+c ≡ b+d(mod n)
ac=bd(mod n)

素数判定问题
方法1
根据定义，要判定19是不是素数，可以用2到8的所有整数去除19，而2到18所有的整数都不能整除19，所以19是素数。

方法2
用2到根号下19的所有整数去除19，这样可以更快地判定19是素数。

威尔逊定理
整数n是素数的充要条件是(n-1)!+1 ≡ 0 (mod n)

梅森素数
形如 2^p-1的素数，其中p是素数，如：
3=2²-1,7=2³-1,31=2⁵-1

梅森素数被人们誉为“数海明珠”，寻找难度极大。1999年3月设在美国的电子新领域基金会（EFF）向全世界宣布了为通过“因待网梅森素数大搜索”项目（GIMPS），来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。

米勒-拉宾素性判定
目前在整数素性检测的较好办法，基于概率判定方法。
但判定结果具有概率性的，不是确定的。

欧拉函数
对于整数n，在n以内并与n互素的整数个数，记为：φ(n)，如：

φ(5)=4
φ(6)=2
φ(7)=6
φ(8)=4
φ(9)=6
φ(10)=4

如果n是素数，则φ(n)=n-1

欧拉定理
设n>2，且(a,n)=1，则a^φ(1) ≡ 1 (mod n)

费马定理
如果p是素数，则a^p-1 ≡ 1 (mod p)

孙子定理
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。

解：