【bzoj1914】[Usaco2010 OPen]Triangle Counting 数三角形

Description

在一只大灰狼偷偷潜入Farmer Don的牛群被群牛发现后，贝西现在不得不履行着她站岗的职责。从她的守卫塔向下瞭望简直就是一件烦透了的事情。她决定做一些开发智力的小练习，防止她睡着了。想象牧场是一个X，Y平面的网格。她将N只奶牛标记为1…N (1 <= N <= 100,000)，每只奶牛的坐标为X_i,Y_i (-100,000 <= X_i <= 100,000;-100,000 <= Y_i <= 100,000; 1 <= i <=N)。然后她脑海里想象着所有可能由奶牛构成的三角形。如果一个三角形完全包含了原点(0,0)，那么她称这个三角形为“黄金三角形”。原点不会落在任何一对奶牛的连线上。另外，不会有奶牛在原点。给出奶牛的坐标，计算出有多少个“黄金三角形”。顺便解释一下样例，考虑五只牛，坐标分别为(-5,0), (0,2), (11,2), (-11,-6), (11,-5)。下图是由贝西视角所绘出的图示。

Input

第一行:一个整数: N 第2到第N+1行: 每行两个整数X_i，Y_i，表示每只牛的坐标
Output

• 第一行: 一行包括一个整数，表示“黄金三角形的数量”
  Sample Input

5
-5 0
0 2
11 2
-11 -6
11 -5
Sample Output

5

题解
补集思想，利用atan2(y,x) 进行极角排序，对于任意一点(x,y)发现其与原点把平面分为两部分，他与平面同一侧的点所构成的三角形不是黄金三角形。

代码

#include<bits/stdc++.h>#define inf 10000000000000#define N 500005#define ll long longusing namespace std;inline int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}int n;ll ans;struct node{ll x,y;double angle;}a[100005];bool cmp(node a,node b){return a.angle<b.angle;}ll operator*(node a,node b){return a.y*b.x-a.x*b.y;}int main(){    n=read();    for (int i=1;i<=n;i++)    {        a[i].x=read(),a[i].y=read();        a[i].angle=atan2(a[i].y,a[i].x);    }    sort(a+1,a+n+1,cmp);    int p=1,t=0;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        while ((p%n+1)!=i&&a[i]*a[p%n+1]<=0)t++,p++;        ans+=(ll)t*(t-1)/2;        t--;    }    printf("%lld",(ll)n*(n-1)*(n-2)/6-ans);    return 0;}