概率公式小结

基本公式

加法：对于互斥的事件A,B，发生其中一个的概率为P(A)+P(B)
乘法：对于独立的事件A,B，都发生的概率为P(A)*P(B)
减法：对于发生B是建立在发生A基础上的事件A,B，发生A而不发生B的概率为P(A)-P(B)。对于独立事件A,B，发生A而不发生B的概率为P(A)-P(A)*P(B)
容斥：独立事件的概率满足容斥原理

全概率公式与贝叶斯公式

现在我们用P(A|B)表示在发生B的前提下发生A的概率。
好的，那么我们先看一道例题（boshi大佬的例题）：

tk来到了一座美丽的菜园花园，花园里有a比例的红色花，剩下的全是黄色花，红色花全是十字花科的，黄色花中有p比例是十字花科的。tk要解剖十字花科的花，于是她想要知道：
（1）她随手采一朵花去解剖，是十字花科的概率是多少？
（2）如果她摘了一朵十字花科的花，这朵花有多少概率是黄色的？

第一问是全概率公式，显然
P（十字花科）=P（红色）×P（十字花科红色花）+P（黄色）×P（十字花科黄色花）
ans=a+(1−a)∗p=a+p−a∗p
所以我们很容易理解全概率公式了：

P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)

第二问是是贝叶斯公式，显然我们的全集不是花园里的花，而是十字花科的花了，那么：
P（黄色|十字花科）=P（十字花科黄色花）/P（十字花科）
而根据全概率公式可以转化一下：
P（黄色|十字花科）=P（黄色）P（十字花科|黄色)/（P（黄色）P（十字花科|黄色）+P（红色）P（十字花科|红色））
ans=a∗pa∗p+(1−p)
所以贝叶斯公式：

P(Ai|B)=P(Ai)∗P(B|Ai)∑P(Aj)∗P(B|Aj)

概率与集合

一个事件就是一个集合，所以可以通过画韦恩图等方式加强理解，也可以用一些有关集合的知识做概率题。
全集：
今天的模拟赛，jyf能够AC第一题的概率是0.7，能AK的概率为0.56，求他已经AC了第一题的情况下AK的概率
全集由1变成了0.7，所以答案就是0.56/0.7=0.8
容斥：
今天的模拟赛，litble第一题能得分的概率是0.3，AC第二题能得分的概率是0.2，其他题目都无法得分，求她至少AC一题的概率。
P（得分）=P（第一题）+P（第二题）-P（都得分）=0.3+0.2-0.06=0.44
P（得分）=1-P（不得分）=1-0.7*0.8=0.44