8. 树--堆

堆

优先队列（Priority Queue）

定义

特殊的“队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序

如何组织优先队列

采用数组或者链表实现优先队列

• 数组
  
  • 插入：元素总是插入尾部，Θ(1)
  • 删除：
    
    • 查找最大（或最小）关键字，Θ(n)
    • 从数组中删去需要移动元素，O(n)
• 链表
  
  • 插入：元素总是插入链表的头部，Θ(1)
  • 删除：
    
    • 查找最大（或最小）关键字，Θ(n)
    • 删去结点，Θ(1)
• 有序数组
  
  • 插入：
    
    • 找到合适的位置，O(n)orO(logn2)
    • 移动元素并插入，O(n)
  • 删除：删去最后一个元素，Θ(1)
• 有序链表
  
  • 插入：
    
    • 找到合适的位置，O(n)
    • 插入元素，Θ(1)
  • 删除首元素或者最后元素，Θ(1)

采用完全二叉树表示

使用了完全二叉树去实现优先队列，这种完全二叉树还有一个名字——堆

堆的特性

• 结构性：用数组表示的完全二叉树
• 有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值（或最小值）
  
  • 最大堆（MaxHeap），也称大顶堆：最大值
  • 最小堆（MinHeap），也称小顶堆：最小值

最大堆的抽象数据类型描述

• 类型名称：最大堆（MaxHeap）
• 数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值
• 操作集：最大堆H∈MaxHeap，元素item∈ElementType，主要操作有：
  
  • MaxHeap Create(int MaxSize)：创建一个空的最大堆
  • Boolean IsFull(MaxHeap H)：判断最大堆H是否已满
  • Insert(MaxHeap H, ElementType item)：将元素item插入最大堆H
  • Boolean IsEmpty(MaxHeap H)：判断最大堆H是否为空
  • ElementType DeleteMax(MaxHeap H)：返回H中最大元素（高优先级）

最大堆的操作

结构定义

typedef struct HeapStruct *MaxHeap;struct HeapStruct {    ElementType *Elements;    int Size;    int Capacity;};

初始化（建立空的最大堆）

MaxHeap Create(int MaxSize) {    MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));    H->Elements = malloc((MaxSize + 1) * sizeof(ElementType));    H->Size = 0;    H->Capacity = MaxSize;    H->Elements[0] = MaxData;   // 定义哨兵为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作    return H;}

插入操作

算法：将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中

// 将元素item插入最大堆H，其中H->Elements[0]已经定义为哨兵void Insert(MaxHeap H, ElementType item) {    int i;    if (IsFull(MaxHeap)) {        printf("最大堆已满");        return;    }    i = ++H->Size;  // i指向插入后堆中的最后一个元素的位置    for (; H->Elements[i/2] < item; i /= 2)     // H->Elements[0]是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制循环结束        H->Elements[i] = H->Elements[i/2];  // 向下过滤结点    H->Elements[i] = item;  // 将item插入}

时间复杂度：T(N)=O(logN)

删除操作

算法：
1. 将数组最末元素替代第一个元素（被删除的元素）
2. 与左右孩子结点进行比较
3. 如果存在这样的孩子结点，则将孩子结点上移，然后重复2，否则进入4
4. 结束循环后，将之前的最末元素赋给当前空出来的位置

// 从最大堆H取出键值为最大的元素并删除一个结点ElementType DeleteMax(MaxHeap H) {    int Parent, Child;    ElementType MaxItem, temp;    if (IsEmpty(H)) {        printf("最大堆为空");        return;    }    MaxItem = H->Elements[1];   // 取出根结点最大值    // 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点    temp = H->Elements[H->Size--];    for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child) {        Child = Parent * 2;        if (Child != H->Size             && (H->Elements[Child] < H->Elements[Child + 1]))            Child++;    // Child指向左右子结点的较大者        if (temp >= H->Elements[Child])            break;        else            H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];    }    H->Elements[Parent]  = temp;    return MaxItem;}

时间复杂度：T(N)=O(logN)

最大堆的建立

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中
* 通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(NlogN)
* 在线性时间复杂度下建立最大堆（最坏情况下需要挪动元素次数是等于树中各结点的高度和）：
1. 将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
2. 调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性，调整方式类似堆的删除：
1. 从倒数第一个有儿子结点的结点开始，将其看作堆，进行调整
2. 从下往上逐层进行调整，保证下层都是堆
3. 一直调整到根结点位置