计算机中浮点数的存储方式

参考网址：http://blog.chinaunix.net/uid-28458801-id-3507427.html

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
　　V = (-1)^s×M×2^E
　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
　　（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。

　　（3）2^E表示指数位。

 

IEEE关于浮点数的定义标准了，0.0f是一个特殊的数，阶码和尾数全为0来表示浮点的0，这是规定.

　　举例来说，

        十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。

        十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

 

IEEE 754规定，对于32位（如 float）的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

存储的结构：1位符号+8位介码+23位有效数字M

 

        对于64位（如 double）的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

存储的结构：1位符号+11位介码+52位有效数字M

 

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
　　前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式， 其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等 到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存 24位有效数字。
　　至于指数E，情况就比较复杂。
　　首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出 现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

 

　　比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。
　　然后，指数E还可以再分成三种情况：
　　（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
　　（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
　　（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？
　　首先，将0x00000009拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
　　由于指数E全为0，所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数V就写成：
　　V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)
　　显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。

 

请问浮点数9.0，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？
　　首先，浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001×2^3。
　　那么，第一位的符号位s=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即10000010。
　　所以，写成二进制形式，应该是s+E+M，即010000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。这个32位的二进制数，还原成十进制，正是1091567616。

 

十进制的0.5，写成二进制是0.1，相当于1.0* 2^(-1)。那么，s=0，M=1.0，E=-1。

    则：1≤M<2，只需保存M中小数点后的数值，此时为 0，则 第22位为0，填充第0~21位为0；

           E = -1；保存时为 127+（-1）=126（十进制）=111 1110（二进制）

    二进制结果为： 符号     阶码       有效数值

                            0 01111110  00000000000000000000000

 

请问浮点数1.0，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？
    首先，浮点数1.0等于二进制的1.0，即1.0×2^0。
　　那么，第一位的符号位s=0，有效数字M等于0, 23个0，，指数E等于0+127=127，即01111111。
　　所以，写成二进制形式，应该是s+E+M，即0 011 11111 000 0000 0000 0000 0000 0000这个32位的二进制数。也就是03f800000，还原成十进制，正是1065353216。

 

测试代码：

int main()

{

       float a =1.0f;

       cout <<(int)a<< endl;

       cout <<&a << endl;

       cout <<(int&)a<< endl;

       return 0;

}

运行结果：

1

0077F79C

1065353216

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