SG函数

http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495 （后面的sg函数及其实例取石子问题来源）

这篇博客讲的蛮好的。
组合游戏的和，假设有k个游戏，每次在当前回合，游戏者可以选择其中的一个游戏进行操作，然后保证其他游戏的局面不变，也就是说一次只能玩一个，不能同时玩。最后不能操作的人输。

其中nim游戏就是这种组合游戏特殊的一种，每一堆石头都可以看作一个游戏，每个游戏都相等。

Sprague-Grundy定理（SG定理）

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的
nim和。所以我们可以将组合游戏中的每一个游戏单独考虑，从而简化了问题。
单堆nim游戏中的sg(x)=x;

SG函数：

    首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。    对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

【实例】取石子问题

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推…..

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8….

SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1….

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。

代码实现如下：

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理  //SG[]:0~n的SG函数值  //S[]:为x后继状态的集合  int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];  void  getSG(int n){      int i,j;      memset(SG,0,sizeof(SG));      //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始      for(i = 1; i <= n; i++){          //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置          memset(S,0,sizeof(S));          for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)              S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记          for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值              SG[i] = j;              break;          }      }  }  

HDU 1848

#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cmath>#include <vector>using namespace std;const int maxn = 1005;#define LL long longint SG[maxn];int f[maxn];int S[maxn];void getfb(){    f[1]=1;    f[2]=2;    for(int i=3;;i++)    {        f[i]=f[i-1]+f[i-2];        if(f[i]>1000) break;    }}void getSG(){    memset(SG,0,sizeof(SG));    for(int i=1;i<=1000;i++)    {        memset(S,0,sizeof(S));        for(int j=1;f[j]<=i;j++)        {            S[SG[i-f[j]]]=1;        }        for(int j=0;;j++)        if(!S[j])        {            SG[i]=j;            break;        }    }    //return SG[x];}int main(){    int m,n,p;    getfb();    getSG();    while(scanf("%d %d %d",&m,&n,&p)!=EOF)    {        if(m==0&&n==0&&p==0) break;        int x=SG[m]^SG[n]^SG[p];        if(x==0) printf("Nacci\n");        else printf("Fibo\n");    }    return 0;}