细说循环冗余校验码

初识循环冗余校验码：
为了保证数据传输的可靠性，在计算机网络传输数据时，必须采用各种差错检验措施，目前广泛使用的是循环冗余（CRC）检验的检错技术。
CRC检验原理：
在发送端，先把数据划分为组，假定每个组k个比特。现假定待传送的数据M=101001（k=6）。CRC运算就是在数据M后面添加供差错检验用的n位冗余码，然后构成一个帧发送出去，一共发送（k+n）位。在要发送的数据后面加n位的冗余码，虽然增加了数据传送的开销，但却可以进行差错检测。当传输可能出现差错时，付出这种代价是很值得的。
这n位冗余码可以通过下面的方法得出。用二进制的模2运算进行2^n乘M的运算，这相当于在M后面添加n个0。得到k+n位的数除以收发双方事先商定的长度为（n+1）位的除数p（实际上是除数和被除数做异或运算）,得出商是Q余数是R(n位，比p少一位)。

在上图所示例子中，M=101001(k=6),假定除数p=1101(n=3，n比除数p少一位，即n为3位).经模2除法运算后的结果是：商Q=110101(这个商并没有什么用)，而余数R=001，这个余数R就作为冗余码拼接在M之后发送出去，这种为了进行检错而添加的冗余码常称为帧检验序列FCS，因此加上FCS后发送的帧是101001001(一共K+n位)。
在接收端把接收到的数据以帧为单位进行CRC检验：把收到的每一帧都除以同样的除数P(模2运算)，然后检查得到的余数R。
如果在传输过程中无差错，那么经过CRC检验后得出的余数R肯定是0。
但如果出现误码，那么余数R仍等于0的概率是非常小的。
总结:
（1）若得出的余数R=0，则判定这个帧没错，就接受。
（2）若余数R！=0；则判定这个帧有差错（但无法确定是哪一位或者或者哪几位出现了差错），就丢弃。
注意：
还有一种较方便的方法是用多项式g（x）来表示循环冗余检验过程。具体算法下面例题详细介绍。但在实际应用中，g(x)的取值是有限制的，它受限于以下国际标准：
CRC-CCITT=x^16+x^12+x^5+1
CRC-16=x^16+x^15+x^2+1
CRC-12=x^12+x^11+x^3+x^2+x+1
关于g(x)的国际标准还有一些，这里不一一介绍。

例题1：
采用CRC进行差错检验，生成多项式为G(X)=X4+X+1，信息码字为10110，则计算出的CRC校验码是：
A. 0000 B. 0100 C. 0010 D.1111
【分析】
符号表示假定：多项式和多项式的系数排列均用相同的符号表示，如
G(X)= X4+X+1
G(X)=10011
（1）已知条件如下：
原码字记做M(X)，即：M(X) = 10110
生成多项式记做G(X)，即：G(X) = 10011
G(X)的最高阶数记做r，此处r = 4
（2）计算步骤
a、计算XrM(X)
也就是把M(X)的尾部添加r个0
XrM(X) = 10110 0000

b、计算XrM(X)长除G(X)，余数记做Y(X)
这里的“长除”计算方法如下：
XrM(X) 10110 0000
– G(X) 10011 (注意位对应方式，对应位进行异或运算即可)
00101 0000
– G(X) 100 11 (计算方法同上)
001 1100
– G(X) 100 11
01111 (此数已经小于G(X)，计算到此为止，即Y(X))
注意Y(X)的位数为r(此处为4),所以Y(X) = 1111
Y(X)即是CRC校验码。

c、计算传输码字T(X) = XrM(X)-Y(X)
计算方法：在M(X)末尾连接上Y(X)即可
即：T(X) = 10110 1111

【答案】
此题只要计算出校验码Y(X)即可。正确答案为：D
例题2：
对于生成多项式g(x)=x^4+x^3+x^2+1，报文110产生的CRC的过程如下：
（1）对于g(x)=x^4+x^3+x^2+1的解释：（都是从右往左数）x4就是第五位是1，因为没有x1所以第2位就是0。
将生成多项式g(x)=x^4+x^3+x^2+1转换成对应的二进制除数11101。
（2）此生成多项式有5位（R+1）(注意：5位的生成多项式计算所得的校验码为4位，R为校验码位数)，要把原始报文左移 4（R）位变成110 0000
（3）用110 0000与11101进行模2除，相当于按位异或：
11101 | 110,0000
得到余数：1001
所以CRC码是1001，传输码为：110,1001