【洛谷1962】 斐波那契数列

题面

题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入输出样例

输入样例#1：

5

输出样例#1：

5

输入样例#2：

10

输出样例#2：

55

说明

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

题解

看一看数据范围
如果使用O(n)的递推显然会炸掉
那么我们有没有别的方法？

显然是有的
使用斐波那契数列的递推公式怎么样?
但是，，，里面带有根号，如果直接使用显然是会掉精度的

所以，，，应该怎么办

我们知道
f[i]=f[i-1]+f[i-2]
f[i-1]=f[i-2]+f[i-3]

所以
我们可以用矩阵来表示

因此
我们可以继续推导
可以得到

接下来使用矩阵快速幂就可以直接求解

#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;#define MOD 1000000007#define MAX 10#define ll long longstruct yl//矩阵 {       int n;//大小       long long g[MAX][MAX];  };yl operator *(yl a,yl b)//定义乘法 {       int n=a.n;       yl cool;       memset(cool.g,0,sizeof(cool.g));       for(int i=1;i<=n;++i)            for(int j=1;j<=n;++j)                 for(int k=1;k<=n;++k)                        cool.g[i][j]=(cool.g[i][j]+1ll*a.g[i][k]*b.g[k][j]%MOD)%MOD;       cool.n=n;       return cool;}void write(yl a){       int n=a.n;       for(int i=1;i<=n;++i)       {           for(int j=1;j<=n;++j)              cout<<a.g[i][j]<<' ';           cout<<endl;       }}yl Pow(yl a,long long b)//a的b次方{       if(b==1)return a;       yl s=Pow(a,b/2);       s.n=a.n;       s=s*s;       if(b&1)s=s*a;       return s;}int main(){       ll n;       cin>>n;       if(n==0)       {              cout<<0<<endl;              return 0;       }       if(n==1||n==2)       {              cout<<1<<endl;              return 0;       }        else       {              yl a;              a.n=2;              a.g[1][1]=a.g[1][2]=a.g[2][1]=1;              a.g[2][2]=0;              yl s=Pow(a,n-1);              s.n=2;              //write(s);              cout<<s.g[1][1]<<endl;              return 0;       }}