【JZOJ5223】B

Description

给定一个3*3的网格图，一开始每个格子上都站着一个机器人。每一步机器人可以走到相邻格子或留在原地，同一个格子上可以有多个机器人。问走n步后，有多少种走法，满足每个格子上都有机器人。答案对10^9+7取模。

Solution

话说这题除了正解并没有什么能得分的方法。

我们考虑一幅图G(i,j)k表示i→j恰好走k步的方案。

那我们对于这题给3×3的网格图每个格子重新标号，那么对于这个图G(i,j)k就表示在第i号格子机器人恰好走k步到第j号格子的方案数。

那么当i=j或i与j相邻时，G(i,j)=1。

于是我们矩阵快速幂求出Gn，对于每个起点构造初始矩阵与G相乘，就能得出在第i号的机器人走n步到第j号格子的方案数。

于是我们只要枚举每个机器人走到哪个格子就能统计答案。

时间复杂度：O(93log2n+9!)

Code

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)#define ll long long#define mo 1000000007#define N 13using namespace std;ll a[N][N],b[N][N],c[N][N];int tot=9;int fx[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};void mul(ll p[N][N],ll q[N][N]){    memset(c,0,sizeof(c));    fo(i,1,tot)    fo(j,1,tot)    fo(k,1,tot) c[i][j]=(c[i][j]+p[i][k]*q[k][j]%mo)%mo;    memcpy(p,c,sizeof(c));}void pow(ll t){    fo(i,1,tot) b[i][i]=1;    while(t)    {        if(t%2) mul(b,a);        t/=2;        mul(a,a);    }}int g(int x,int y){    return (x-1)*3+y;}int ys[N],mp[N][N];int o[N];bool bz[N];ll ans=0;void dfs(int x){    if(x>tot)    {        ll tmp=1;        fo(i,1,tot) tmp=tmp*mp[i][o[i]]%mo;        ans=(ans+tmp)%mo;        return;    }    fo(i,1,tot) if(!bz[i])    {        bz[i]=true;        o[x]=i,dfs(x+1);        bz[i]=false;    }}int main(){    freopen("B.in","r",stdin);    freopen("B.out","w",stdout);    ll n;    scanf("%lld",&n);    fo(i,1,3)    fo(j,1,3)    {        int t=g(i,j);        a[t][t]=1;        fo(k,0,3)        {            int x=i+fx[k][0],y=j+fx[k][1];            if(x<1 || x>3 || y<1 || y>3) continue;            a[t][g(x,y)]=1;        }    }    pow(n);    fo(i,1,tot)    {        ys[i]=1;        fo(j,1,tot)        fo(k,1,tot) mp[i][j]=(mp[i][j]+ys[k]*b[k][j]%mo)%mo;        ys[i]=0;    }    dfs(1);    printf("%lld",ans);}