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Make Triangle

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分类：数学

1.题意概述

• 给出一个凸n边形，问用n-3条不相交的对角线将该n边形划分为三角形的方案数？

2.解题思路

• 卡特兰数：

  • h(n)=h(0)⋅h(n−1)+h(1)⋅h(n−2)+...+h(n−1)⋅h(0)，n≥2
  • 另类递推式：
    
    • h(n)=(4n−2)⋅h(n−1)n+1

• 递推：因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn，将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2...Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk(2≤k≤n−1)，来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2…Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1…Pn构成的凸(n−k+1)边形。

  此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f(n)的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸(n−k+1)多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点有f(n)=f(k)×f(n−k+1)。而k可以从2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f(n)=f(2)×f(n−2+1)+f(3)×f(n−3+1)+…+f(n−1)×f(2)。到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f(n)=h(n−2), n=2，3，4……。

  最后，令f(2)=1,f(3)=1。但是答案要取模(105+7)这不是一个质数，(i+1)的逆元也不好求，所以我们考虑前一种递推式。

3.AC代码

#include <bits/stdc++.h>#define INF 0x3f3f3f3f#define maxn 100100#define lson root << 1#define rson root << 1 | 1#define N 1001#define eps 1e-6#define pi acos(-1.0)#define e exp(1.0)using namespace std;const int mod = 1e5 + 7;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;ll dp[N];void solve(){    dp[2] = dp[3] = 1;    dp[4] = 2;    for (int i = 4; i <= N; i++)    {        ll temp = 0;        for (int j = 2; j < i; j++)            temp = (temp + dp[i - j + 1] * dp[j]) % mod;        dp[i] = temp;    }}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("in.txt", "r", stdin);    freopen("out.txt", "w", stdout);    long _begin_time = clock();#endif    int t;    solve();    scanf("%d", &t);    while (t--)    {        int n;        scanf("%d", &n);        printf("%lld\n", dp[n]);    }#ifndef ONLINE_JUDGE    long _end_time = clock();    printf("time = %ld ms.", _end_time - _begin_time);#endif    return 0;}