Algorithm 3: Complete binary tree

完全二叉树及其性质(可用于heapsort等)

如下图所示，是一棵近似的完全二叉树，以此举例说明。(b)是该树用 数组的存储的表示形式，其中数组中的连线部分，代表着后面被连线的元素是前一个元素的孩子节点。

下面描述，如何通过完全二叉树的相关性质 对于数组中位置下标为 idx 的元素，快速找到其孩子节点的元素在数组中的下表位置ci1,ci2

1. 完全二叉树的 节点总数 为 2(n−1)−1 个。
   
   设k为完全二叉树的第k层(从第0层起)，nodek=2k
   
   
   n为完全二叉树的总层数，则:NodesNum=∑k=0n2k
   
   
   NodesNum=∑k=0n2k=1+21+22+...+2n
   
   根据公式:
   
   
   ∴NodesNum=2n+1−12−1=2n+1−1

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2. 因此，当我们想求得数组中 下标为idx 的孩子节点的 位置，其计算方式如下：

求得idx元素的上面一层的层数值w:有不等式成立:2w+1−1<idx

2w+1−1即为前w层的(包括第w层)的节点总数，数量即对应着编号

w=⌈log2(idx+1)−1⌉−1

求得idx所对应的上一层层数w后，就可以算得idx节点所在曾有多少个节点在idx节点前面：

s=idx−(2w+1−1+1)=idx节点层在idx节点前面的元素个数。(2w+1−1+1)为idx层第一个元素的下标编号

∴ci1=(2w+1+1−1+1)+2s,ci2=ci1+1

2w+1+1−1+1)为idx节点所在层的最大编号+1，即idx的下一层(孩子节点所在层)的第一个元素的下标编号。2s为在idx节点的第一个孩子节点之前有多少个节点。

1. 举例说明: 如求得节点3的孩子节点的下标编号
   
   • 求得3节点的上一层w=⌈log2(3+1)−1⌉−1=0
   • 求得3号节点所在层在3号节点之前的元素个数：3−2(w+1)−1+1=1。
   • 求得3号节点孩子节点所在层的第一个元素的编号:2w+1+1+1=4
   • 求得ci1=4+21=6,ci2=7