NKOJ3959 天真的因数分解(二分答案，容斥原理，莫比乌斯函数)

问题描述

小岛: 什么叫做因数分解呢?
doc : 就是将给定的正整数n, 分解为若干个素数连乘的形式.
小岛: 那比如说 n=12 呢?
doc : 那么就是 12 = 2 X 2 X 3 呀.
小岛: 呜呜, 好难, 居然素数会重复出现, 如果分解后每一个素数都只出现一次, 我就会.

wish: 这样来说, 小岛可以正确分解的数字不多呀.
doc : 是呀是呀.
wish: 现在问题来了, 对于给定的k, 第 k 个小岛无法正确分解的数字是多少?

输入格式

输入只有一行, 只有一个整数 k.

输出格式

输出只有一行, 只有一个整数, 表示小岛无法正确分解出来的第k个数字.

样例输入 1

10

样例输出 1

27

样例输入 2

23

样例输出 2

60

提示

对于30%的数据, k <= 2,000,000

对于100%的数据, 1 <= k <= 10,000,000,000

样例1提示

前 10 个小岛无法正确分解出来的数字依次是: 4 8 9 12 16 18 20 24 25 27

简要题解

        首先，设要求的第K个无法正确分解的数为Ak，显然是没有关于k的式子可以直接推出Ak，所以考虑二分答案。

        枚举一个数X，现在问题变成求1~X有多少个无法正确分解的数。

        考虑一个无法正确分解的数M，那么将M标准分解后，肯定存在一个素因子P，且P的次数≥2。

        那么显然表示了1~X中包含的数的个数，因此枚举p累加，但显然加重了，所以这里用容斥原理处理一下得到

       

       最后，观察一下系数，联想莫比乌斯函数，可以发现每一项前的系数就是分母内的数的莫比乌斯函数的相反数，并且分母的最大值显然是，得到最后的求和式：

      

      用线性筛预处理一下，至于二分的上限可以目测一下，我取的100*k，至此可以在的时间复杂度内解决该问题。

附上代码

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#define ll long long#define N 12345678using namespace std;ll k,n,p[N],tot;short mu[N];bool mark[N];void EU(){ll i,j,x=sqrt(n);mu[1]=1;for(i=2;i<=x;i++){if(!mark[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1;for(j=1;j<=tot&&p[j]*i<=x;j++)if(i%p[j])mark[i*p[j]]=1,mu[i*p[j]]=-mu[i];else mark[i*p[j]]=1,mu[i*p[j]]=0;}}bool ok(ll x){ll i,y=sqrt(x),sum=0;for(i=2;i<=y;i++)sum+=-mu[i]*(x/(i*i));if(sum>=k)return 0;return 1;}ll EF(ll l,ll r){while(l<=r){ll mid=l+r>>1;if(ok(mid))l=mid+1;else r=mid-1;}return l;}int main(){scanf("%lld",&k);n=100*k;EU();cout<<EF(1,n);}