红黑树

1.基本概念

二叉树：树状结构，最多只允许两个子节点。
二叉搜索树：二叉树结构，任何节点的键值一定大于其左子树中的每一个节点的键值，并小于其右子树中的每一个节点的键值。
平衡二叉搜索树：二叉搜索树，“平衡”没有任何一个节点深度过大。

2.AVL-tree

　　是一个“加上了额外平衡条件”的二叉树。要求任何节点的左右子树高度相差最多为1，保证“对数深度”O(logN)平衡状态。
　　只要调整“插入点至根节点”路径上，平衡状态被破坏之各节点中最深的那一个，便可使整棵树重新或得平衡。假设该最深节点为X，由于节点最多拥有两个子节点，而所谓“平衡被破坏”意味着X的左右两棵子树的高度相差2，因此我们可以轻易将情况分为四种：

　　情况1，4彼此对称，称为外侧插入，可以采用单旋转操作调整解决；情况2，3彼此对称，称为内侧插入，可以采用双旋转操作调整解决。

3.单旋转

　　违反平衡条件的是K2，把K1向上提起，使K2自然下滑，并将B子树挂到K2的左侧。

4.双旋转

　　违反平衡条件的是K3，以K2为新的根节点，这使得K1必须成为K2的左子节点，K3必须成为K2的右节点。

5.RB-tree(红黑树)

　　二叉搜索树，而且必须满足以下规则：
　　1）每个节点不是红色就是黑色。
　　2）根节点为黑色。
　　3）如果节点为红，其子节点必须为黑。
　　4）任一节点至NULL（树尾端）的任何路径，所含之黑节点数必须相同。

5.1插入节点

　　新节点必须为红，新节点之父节点必须为黑。假设新节点为X，其父节点为P，祖父节点为G，伯父节点为S，曾祖父节点为GG。
状况1：
　　S为黑且X为外侧插入，对此情况，我们先对P,G做一次单旋转，再更改P,G颜色，即可重新满足红黑树的规则3。

状况2：
　　S为黑且X为内侧插入，对此情况，我们必须先对P，X做一次单旋转并且改G，X颜色，再将结果对G做一次单旋转，即可再次满足红黑树规则3。

状况3：
　　S为红且X为外侧插入，对此情况，我们先对P,G做一次单旋转，并改变X的颜色。如果此时GG为黑，一切搞定。

状况4：
　　S为红且X为外侧插入，对此情况，我们先对P,G做一次单旋转，并改变X的颜色。此时如果GG为红，还得持续往上做，直到不再有父子连续为红的情况。

5.2一个由上而下的程序

　　为了避免情况4“父子节点皆为红色”的情况持续向RB-tree的上层结构发展，形成处理时效上的瓶颈，我们可以施行一个由上而下的程序。假设新增节点为A，那么就延着A的路径，只要看到有某节点X的两个子节点皆为红色，就把X改为红色，并把两个子节点改为黑色。

6.参考文献

　　本文内容摘录于《STL源码剖析》