带花树算法--一般图最大匹配

可以在uoj#79测试模板题
如标题，简单地介绍一下带花树算法，提供一个自认为不错的模板
安利一篇介绍得很详细的blog
由于本人实在太蒻。。。这篇blog就不讲述任何关于算法正确性的证明吧
(也许以后会有兴趣翻译原论文：EfficientAlgorithmsforFindingMaximalMatchinginGraphs，不过现在肯定是懒了。。)

可能有些选手会想苟蒻我一样懒，二分图匹配只会用Dinic做法，建议学习带花树之前看一下匈牙利算法
就像匈牙利算法一样，带花树算法的核心也是类似地每次找增广路
假设对于原图的k个点，已经找到了一些匹配，先把这些匹配留着
选择一个尚未匹配的点s，作为起点，进行bfs，保留bfs树
每次遍历到一个点，如果它也没匹配，那非常棒！因为这样就找到了一条增广路，直接增广即可。
否则，记这个点为u，记它的配偶为v
对点u，标记为T节点，对于v，标记为S节点，并把v入队，继续bfs
(带上起点s，显然，每时每刻在队列中的点都是S类节点)
那么得到的bfs树画出来大概就是这样的

其中红色节点为起点
显然，有的时刻，从某个点出发，路径上下一个点是被访问过的，哪怎么办？
对这个节点分类讨论
1.这个点是T节点

就像图中蓝线连接的边，显然，此时找到了一个偶环，忽略即可

2.这个点是S节点

还是图中的蓝线，此时就找到了一个长度为奇数的环
不过这时候的情况并不简单。。。显然，找不到一个方案构造增广路
但是，如果这个环上存在任意一个点，使得这个点连接的点中存在一个未匹配点
那么显然，此时可以构造出一条一路回溯的增广路
那么，这个时候这个奇环上任意一个点有边连接未匹配点都是等价的
于是，可以将这个奇环缩成一个新点，然后再继续进行bfs，直到找到增广路为止(或是证明不存在)

至此，带花树算法求解一般图匹配的基本步骤就大致清晰了
bfs->缩环->bfs->缩环->…->缩环->bfs->找到增广路
那么找到增广路时，就是沿路将匹配情况取反，以及，我们需要把沿途经过的环(带花树的花)一个个展开。。。？？？
完全没有写的欲望？？不知代码从何下手？？？
这边提供一个本人认为较容易实现的板子。。(反正这个算法都是靠板子？)

首先，对于每次选择的bfs起点，1~n for一遍就行了
每次判断当前点是否已配对，如果没有，才进行bfs
对于每个遍历到的T类点，记录pre[i]为找到它的S类点编号
每次出现S找到S的情况就需要进行缩环
对于缩出来的环，只找一个环上的S点作为它的代表点
如果一朵花被包含在另一朵花内，那么这朵花就不再表示出来了
其实我们不需要真正地去做这个缩环的过程，
只需要对每朵花内的pre数组进行适当修改就行了
大概如图所示：

这是一个S找到S的情形
只需要大力将每个S的pre边连上就行了
显然，如果一个点找到了合法的匹配对象(即一个未匹配点)
我们可以很轻松的通过pre边把需要修改的环修改掉
具体操作不妨参考本人代码中的函数
Link为缩环函数
Rebuild为上述需要更改的pre边
Augment则为增广函数

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#include<vector>#include<queue>#include<set>#include<map>#include<stack>#include<bitset>using namespace std;const int N = 505;int n,m,cnt,Num[105][7],fa[N],pre[N],Mark[N],mat[N],vis[N];queue <int> Q;vector <int> v[N];inline int Getfa(int x){    return x == fa[x] ? x : fa[x] = Getfa(fa[x]);}inline int getint(){    char ch = getchar(); int ret = 0;    while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();    while ('0' <= ch && ch <= '9')        ret = ret * 10 + ch - '0',ch = getchar();    return ret;}void Build(){    n = getint(); m = getint();    while (m--)    {        int x = getint(),y = getint();        v[x].push_back(y); v[y].push_back(x);    }}inline void Augment(int p){    while (p != -1)    {        int tmp = mat[pre[p]]; mat[p] = pre[p];        mat[pre[p]] = p; p = tmp;    }}inline void Rebuild(int x,int y,int lca){    while (Getfa(x) != lca)    {        pre[x] = y;        if (fa[x] == x) fa[x] = lca;        if (fa[mat[x]] == mat[x]) fa[mat[x]] = lca;        if (Mark[mat[x]] == 1) {Q.push(mat[x]); Mark[mat[x]] = 0;}        y = mat[x]; x = pre[y];    }}inline void Link(int x,int y){    ++cnt; int p = Getfa(x);    for (;;)    {        vis[p] = cnt; p = mat[p];        if (p == -1) break; p = Getfa(pre[p]);    }    int lca; p = Getfa(y);    for (;; p = Getfa(pre[mat[p]]))        if (vis[p] == cnt) {lca = p; break;}    Rebuild(x,y,lca); Rebuild(y,x,lca);}inline int BFS(int s){    for (int i = 1; i <= n; i++)        fa[i] = i,Mark[i] = pre[i] = -1;    while (!Q.empty()) Q.pop(); Mark[s] = 0; Q.push(s);    while (!Q.empty())    {        int k = Q.front(); Q.pop();        for (int i = 0; i < v[k].size(); i++)        {            int to = v[k][i];            if (Getfa(to) == Getfa(k)) continue;            if (Mark[to] == -1)            {                Mark[to] = 1; pre[to] = k;                if (mat[to] == -1)                {                    Augment(to); return 1;                }                Mark[mat[to]] = 0; Q.push(mat[to]);            }            else if (Mark[to] == 0) Link(to,k);        }    }    return 0;}int main(){    #ifdef DMC        freopen("DMC.txt","r",stdin);    #endif    int Ans = 0; Build();    for (int i = 1; i <= n; i++) mat[i] = -1;    for (int i = 1; i <= n; i++)        if (mat[i] == -1) Ans += BFS(i);    cout << Ans << endl;    for (int i = 1; i <= n; i++)        printf("%d%c",mat[i] == -1 ? 0 : mat[i],i == n ? '\n' : ' ');    return 0;}