2-SAT

定义

2-SAT问题描述如下：有n个集合，每个集合里有两个元素且必须选一个，再给出若干条限制条件，比如选了i元素就不能j元素，求可行的选择方案。
ps：其实有k-SAT(k>=3)问题，但已经被证明是NPC问题，所以无视~

分析

首先我们要把给出的限制分析清楚。由于每个集合里有两个元素，所以如果某一个元素不能选，另一个就必须选。假设i集合的元素分别为2*(i-1),2*(i-1)+1（这两个元素可以相互异或1得到，下文用^代表异或），则如果选i不能选j，我们需要建两条边：i->j^1,j->i^1。
这里的建边表示选择，也就是说i->j如果有边，说明选i，就必选j。

解法1

对于一个没有元素被选的集合，我们可以先选一个点，然后去验证选该点是否满足限制，如果不满足，就换另外一个点，再去验证，还不满足说明此2-SAT无解。

这个解法很暴力，看起来也像是正确的，但再深究一下就会感觉不是很对：为什么不可以在均不满足限制的情况下，去更改前面一个集合的选项，从而满足限制呢？
其实原因很简单：由于集合i还没有确定选什么，所以集合i与集合1~i-1是无关的（有关的话肯定被确定了）。由于无关，所以前面怎么更改都没有作用。

复杂度：O(n∗m)
好处：效率并不是很糟糕，而且由于是暴力枚举的，所以可以求一些特殊解（比如字典序），而且可以处理不对称（下面会讲到）的情况。

解法2

我们会发现，一个强连通分量中的点一旦选了一个，整个强连通分量就必须全部选择，那么我们可以用Tarjan找到所有极大强连通分量。所以，如果一个集合中的两个元素在同一个SCC（强连通分量）中，就是无解的。但是怎么说明没有上述情况出现时，问题必定有解，又怎么找到解呢？

我们将新图的反图进行拓扑排序，就可以得到反图中每个点所在SCC的拓扑序。看图（注意这是新图不是反图）：

由此可见，如果反图中i所在SCC的拓扑序>反图中i^1所在SCC的拓扑序且存在路径使i->i^1，我们就不能够选i，因为这将导致i^1被选。所以在i和i^1中我们需要选择反图拓扑序较小的元素（如果i和i^1之间没有路径显然可以随意选）。这样可以求出一组任意解，但显然不能求出字典序最小（大）的解。
前面一直说着反图反图，但实际上并不需要真的去重新建图，因为我们关注的是拓扑序，而反图只不过是拓扑序反一下的事情（多谢Manchery大佬指导Orz）。我们还可以惊奇的发现，反图的拓扑序就是Tarjan生成SCC的顺序（又谢Manchery大佬指导%%%），这个yy一下很好得出：由于Tarjan会递归调用下去，所以反图拓扑序小的SCC会优先被处理出来。有了这些发现，代码实现就变得非常简单啦。

这种想法看似天衣无缝，但实际上一定要在2-SAT满足对称性的情况下才正确。
对称性：如果i能够到j，那么j^1就能够到i^1。
若2-SAT的限制都是常规限制（选i不能选j），那么该2-SAT肯定满足对称性。这个非常显然就不用解释啦:P。
如果不满足对称性，就可能会出现这种情况导致矛盾：

而在满足对称性的情况下，就不会出现该情况。
（本人太蒟蒻，只知道如何说明对称性的必要，但算法正确性的严格证明并不会，会严格证明的dalao可以给我提些建议，谢谢Orz）

复杂度：O(n+m)

模板题

1.字典序最小解：HDU1814，题解传送门。
2.任意解：POJ3683，题解传送门。

2017.7.28UPD：常用技巧&优化

1.如果某个集合i必选2*(i-1)或必选2*(i-1)+1，那么连2*(i-1)->2*(i-1)+1或2*(i-1)+1->2*(i-1)。这看起来并不对称，但要注意到对称的定义：如果i能够到j，那么j^1就能够到i^1。所以是对称的。
2.线段树优化建图，实际上适合很多图论算法，不仅仅是2-SAT。这里有一道比较简单的题目。
3.前后缀优化建图，这个就2-SAT用的多了。这里有一道比较简单的题目。