K-Means简记

K-Means聚类算法。

基础含义

K-Means是一种聚类算法，它可以把n个对象根据相互之间的相似度，自动划分到K个聚类。 但并不是任意的划分，我们有明确的目标。通俗的讲，目标就是划分后的聚类, 每个类内部相对集中；而聚类与聚类之间则相对离散。

数学原理

给定n个观察点

X1,X2,...,Xn

其中每个观察点Xi都是d维向量，也就是说，只要把我们的任何一条数据预处理到d维空间，使得每个|Xi|=d, 举个例子就是

Xi=[fi1,fi2,...,fid],

其中fik就是第k个特征. 那么都可以采用此聚类方法处理数据。

那么我们的目标函数是什么呢？
我们需要划归到S={S1,S2,...,Sk}，其中Si是第i个聚类。

目标函数：

argmin∑i=1k(∑X∈Si||X−μi||2)=argmin∑i=1k(|Si|VarSi)

其中μi代表Si的质心(the mean of points in Si)，这就是K-Means的Means的意思。
|Si|代表聚类的规模；
VarSi则是Si的方差。

如何求一个集合的方差Var：

Var(X)=1n∑i=1n(xi−μ)2

其中

μ=1n∑i=1nxi

μ其实就是平均值.

回过头来总结一下目标函数：
如果分好了K个聚类必须满足，每个聚类的方差相加，这个方差之和最小。简言之，就是开始所谓的每个聚类尽量离散程度较好（抱团），这样方差小。

k-Means的算法流程

1. 随机选取k个聚类质心点为μ1,μ2,...,μk∈Rn
2. 重复下面的过程直到收敛
   对于每一个样例，计算其应该属于哪个类：
   
   Si:=argminj||Xi−μj||

对于每一个聚类j，重新计算质心：

μj:=∑X∈SiXm

m是聚类j的个数。

通俗一点讲：

1、给出k个初始聚类中心，简称初始化质心。
2、repeat：
把每一个数据对象重新分配到k个聚类中心处，形成k个簇
重新计算每一个簇的聚类中心
3、until 聚类中心不在发生变化

最小值和求导

既然目标函数已经确定了，求最小值也明确了。如何求极值（极小）呢。
最经典的数学方法，求导。参考

质心为啥是平均值

延续上面的求导。

argmin∑i=1k(∑X∈Si||X−μi||2)

对μi求导：

∂∑ki=1(∑X∈Si||X−μi||2)∂μi

=∂∑ii=i(∑X∈Si||X−μi||2)∂μi

=∂(∑X∈Si||X−μi||2)∂μi

=∂(∑X∈Si||X−μi||2)∂μi

=(∑X∈Si2||X−μi||)

为了求极值，导数是0是必要条件。

(∑X∈Si2||X−μi||)==0

(∑X∈Si||X−μi||)==0

推出：

(xi1−μi)+(xi1−μi)+...+(xim−μi)==0

其中 xi1∈Si,总的长度为m，于是：

mμi=∑X∈SiX

最后大功告成：

μi=∑X∈SiXm

质心是当前聚类的平均值就此证明结束。

一定收敛吗

涉及非凸函数，参考https://www.zhihu.com/question/20343349。待研究。

实现收敛方法的EM有啥关系

k-means算法与EM算法的关系是这样的：
** k-means是两个步骤交替进行，可以分别看成E步和M步；
** M步中将每类的中心更新为分给该类各点的均值，可以认为是在「各类分布均为单位方差的高斯分布」的假设下，最大化似然值；
** E步中将每个点分给中心距它最近的类（硬分配），可以看成是EM算法中M步（软分配）的近似。

缺点

1. 对异常值敏感
2. 需要提前确定k值
   如何确定k：
   

1. 数据的先验知识，或者数据进行简单分析能得到基于变化的算法：即定义一个函数，随着K的改变，认为在正确的K时会产生极值
   
2. 基于结构的算法：即比较类内距离、类间距离以确定K。这个也是最常用的办法，如使用平均轮廓系数，越趋近1聚类效果越好；如计算类内距离/类间距离，值越小越好；等。
   
3. 基于一致性矩阵的算法：即认为在正确的K时，不同次聚类的结果会更加相似，以此确定K
   
4. 基于层次聚类：即基于合并或分裂的思想，在一定情况下停止从而获得K。
   
5. 基于采样的算法：即对样本采样，分别做聚类；根据这些结果的相似性确定K。如，将样本分为训练与测试样本；对训练样本训练分类器，用于预测测试样本类别，并与聚类的类别比较。

代码

https://github.com/serban/kmeans

可以有哪些应用

文本聚类，通过设置一定的K，文档聚类，从而发现热点新闻。

引用

https://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering
https://en.wikipedia.org/wiki/Variance