【数据结构】二叉树概述

1.树的定义

树( Tree’ )是n(n~O) 个结点的有限集。n=O 时称为空树。在任意-棵非空树中: ( 1 )有且仅有-个特定的称为根( Root )的结点: (2) 当n>1 时，其余结点可分为m (m>O) 个互不相变的有限集T1 、T2、……、Tm . 奠中每一个集合本身又是一槐树，并且称为根的子树( SubTree )

节点分类

• 结点拥有的子树数称为结点的度(Degree) 。

• 度为0 的结点称为叶结点(Leaf) 或终端结点;度不为0 的结点称为非终端结点或分支结点。

• 树的度是树内各结点的度的最大值。

2.树的概念

（1）深度：树中结点的最大层次称为树的深度( Dep也)或高度

（2）树的存储结构

• 双亲表示法

• 孩子表示法

• 孩子兄弟表示法

3.二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”和“右子树”，左子树和右子树同时也是二叉树。二叉树的子树有左右之分，并且次序不能任意颠倒。二叉树是递归定义的，所以一般二叉树的相关题目也都可以使用递归的思想来解决，当然也有一些可以使用非递归的思想解决，我下面列出的一些算法有些采用了递归，有些是非递归的。

4.二叉树的分类

（1）满二叉树

除叶子节点外，所有节点的度都为2

（2）完全二叉树

• 叶子结点只能出现在最下两层。
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
• 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
• 如果结点度为1 ，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
• 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

5.二叉树的性质

• 二叉树中，第i层的节点最多有2(i-1)个。

• 深度为k的二叉树最多有2k-1个节点。

• 二叉树中，叶子节点树为N1个，度为2的节点有N2个，那么N1=N2+1。

• 具有N个结点的二叉树深度为（Log2 N）+1层。

• N个结点的完全二叉树如何用顺序存储，对于其中的一个结点i，存在以下关系，

  • 2*i是结点i的父结点。
  • i/2是结点i的左孩子。
  • (i/2)+1是结点i的右孩子。

6.哈夫曼树

（1）定义

哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树

（2）构建哈夫曼树

• 1>将所有左，右子树都为空的作为根节点。

• 2>在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，且置新树的附加根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和。注意，左子树的权值应小于右子树的权值。

• 3>森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。

• 4>重复2，3步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树便是哈夫曼树

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