【算法入门】最短路径算法

Dijkstra算法

1.定义

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

3.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

4.算法代码实现：

class Dijkstra{public:void solve(int v0){bool s[MAXNUM];for (int i = 0; i < MAXNUM; ++i){dist[i] = G[v0][i];s[i] = false;if (dist[i] == MAXINT){pre[i] = -1;}else{pre[i] = v0;}}dist[v0] = 0;s[v0] = true;for (int i = 1; i < MAXNUM; ++i){int mindist = MAXINT;int u = v0;for (int j = 0; j < MAXNUM;++j){if (!s[j] && dist[j] < mindist){u = j;mindist = dist[j];}s[u] = true;for (int j = 0; j < MAXNUM;++j){if (!s[j] && G[u][j] < MAXINT){if (dist[u] + G[u][j] < dist[j]){dist[j] = dist[u] + G[u][j];pre[j] = u;}}}}}}};

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

    从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2)算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3)Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

3.算法代码实现

class Floyd{public:int A[MAXNUM][MAXNUM];int path[MAXNUM][MAXNUM];void solve(int v0){for (int i = 0; i < MAXNUM; ++i){for (int j = 0; j < MAXNUM; ++j){A[i][j] = G[i][j];path[i][j] = j;}}for (int k = 0; k < MAXNUM; ++k){for (int i = 0; i < MAXNUM; ++i){for (int j = 0; j < MAXNUM; ++j){if (A[i][k] + A[k][j] < A[i][j]){A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];path[i][j] = path[i][k];}}}}}};

测试：

int main(){for (int i = 0; i < MAXNUM; ++i){for (int j = 0; j < MAXNUM; ++j){if (G[i][j] < 0)G[i][j] = MAXINT;}}int s = 0;  //第1个节点Dijkstra d;d.solve(s);cout << "Dijkstra" << endl;for (int i = 0; i < 7; ++i){cout << s + 1 << " -> " << i + 1 << " min distance: " << dist[i];cout << ",  path: " << i+1 << " <- ";int p = pre[i];while (p != s){cout << p + 1 << " <- ";p = pre[p];}cout << s + 1 << endl;}Floyd f;f.solve(s);cout << "Floyd" << endl;for (int i = 0; i < 7; ++i){cout << s + 1 << " -> " << i + 1 << " min distance: " << dist[i];cout << ",  path: " << i + 1 << " <- ";int p = f.path[i][s];while (p != s){cout << p + 1 << " <- ";p = f.path[p][s];}cout << s + 1 << endl;}}

转载：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html