14. 图--最小生成树

最小生成树

Minimum Spanning Tree

定义

• 是一棵树
  
  • 无回路
  • V个顶点一定有V−1条边
• 是生成树
  
  • 包含全部顶点
  • V−1条边都在图里
• 边的权重和最小

注：

• 向生成树中任加一条边都一定构成回路
• 最小生成树存在 ↔ 图连通

生成算法

最小生成树算法是贪心算法的应用。

• 什么是“贪”：每一步都要最好的
• 什么是“好”：权重最小的边
• 需要约束：
  
  • 只能用图里有的边
  • 只能正好用掉V−1条边
  • 不能有回路

Prim算法

算法：让一棵小树长大，适用于稠密图

实现

• MST：最小生成树的集合，记录收录的顶点
• dist[]：未收录顶点到最小生成树的最小距离（值为到某个顶点的最小距离）
  
  • 初始化为E<s,v>的值，如果与源点s没有直接的边相连，则初始化为正无穷
• parent[]：记录生成树的每个结点的父结点，初始化为-1（或者仅初始化源点s）

void Prim() {    MST = {s};    while (true) {        V = 未收录顶点中dist最小者;        if ( 这样的V不存在 )            break;        将V收录进MST：dist[V] = 0;        for ( V 的每个邻接点 W ) {            if (dist[w] != 0 && E<V, W> < dist[W]) {                dist[W] = E<V, W>;                parent[W] = V;            }        }    }    if ( MST中收录的顶点未包含全部顶点 )        Error( "生成树不存在" );}

如果采用邻接矩阵进行存储，同时通过扫描的方式取得未收录顶点中dist最小者，则时间复杂度为T=O(V2)

Kruskal算法

算法：把每个顶点视为一棵树，通过添加边把树合并成更大的树，更适用于稀疏图

实现

• MST：记录最小生成树添加入的边
• E：边集合

void Kruskal(Graph G) {    MST = { };    while ( MST中不到 V - 1 条边 && E 中还有边 ) {        从 E 中取一条权重最小的边 E<V, W>;  // 使用最小堆实现        将 E<V, W>从 E 中删除;        if ( E<V, W> 不在 MST 中构成回路 ) { // 使用并查集实现，如果V、W两个结点不在同一个集合中，则说明不构成回路            将 E<V, W> 加入 MST;        } else             彻底无视 E<V, W>;    }    if ( MST中不到 V - 1 条边 )         Error( "生成树不存在" );}

采用邻接表实现，时间复杂度为T=O(ElogE)