双钥密钥密码算法RSA解析与短密钥实现

单钥密钥算法，由于其加密的速度相对来说比较快，所以常用来对文本文件加密（如TEA、DES等），而双钥密钥算法（如RSA）由于其加密解密的密钥不同并且采用暴力破解的方式也比较低效（基本不可能被破解），低效的原因通常不是符合加解密的密钥对的空间有多大，而是正确的一对密钥其密钥空间难以确定。但是其加密速度也比较低，所以常用来加密单钥密钥算法的加密秘钥，这样即所谓混合加密。混合密码系统的基本结构如下图所述（解密过程与加密过程相反，并且解密用的公钥密码是接受者的私钥，加密类似于转码组包，解密类似于拆包转码）：

对于混合加密系统的左半部分，我们以RSA为例来进行研究。

1、非对称密码与RSA密码算法简介：

RSA是三位开发者Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman的姓氏首字母所组成的。RSA从框架结构理解上来说算法比较简单，为什么简单？因为它的加密解密只需要两个公式（其实是一个公式）：

Encryption:
Ciphertext = Plaintext^E mod N（明文Plaintext的E次方对N取余的值为密文）
Decryption:
Plaintext = Ciphertext^D mod N（密文Ciphertext的D次方对N取余的值为明文）

其中{E,N}是加密秘钥，也称为公钥（因为该密钥是不需要可以保密的）。而{D,N}是解密密钥，也称为私钥，是需要保密的。A产生一对密钥K11、K12（公钥和私钥），将公钥K11发送给需要进行通信的发送一方S，私钥K12自己保管。即使公钥被窃听者E获取到，由于没有私钥，窃听者也不能的值通信信息。根据描述，我们可以很清楚地知道，一对密钥只能进行单工通信，不是因为信道做不到双工通信，而是信道达不到安全的双工通信。那么就需要另一方S也产生一对密钥K21、K22，将公钥K21发送A，私钥K22自己保留。则A要S通信只能用K21加密信息给S发送，而该信息只有S能用K22解密。S和A通信也只能用K11加密后给A发送信息，而该信息只能由A用私钥K12解密读取。

看起来比较混乱，用下图来表示：

2、RSA密码算法需要的数论知识：

而加密公式与解密公式中，并不是所有的{E,N}、{D,N}组合都能够组成一对密钥。E、D、N是具有一定的关系的，该组合由数学关系推导出来。关于如何求解一组密钥，后面在慢慢分析。我们先来回顾和学习，与RSA加密解密密钥组合生成相关的一些数学知识：

（1）、质数（素数）的相关概念：

①对于整数Number，只能分解为Number = Number * 1，而不能分解为其它整数相乘，则Number为质数（素数）；
②两个质数的乘积是这两个质数的最小公倍数；
③**互质的概念：**A与B互质，并不是说A、B均为质数，而是指A和B的最大公约数是1；如：8和q最大公约数为1，但是8和9都是合数。
④任何大于1的整数Number，能够被分解为如下形式：
Number = P1 * P2 * P3 * … * Pi，（P1 、P2、P3、… 、Pi均为质数）

（2）、mod运算（取模运算）：

①取模(mod)与取余(rem)：A mod B（A对B取模）、A rem B（A对B取余）
它们返回结果都是余数，但rem和mod唯一的区别在于:
当A、B同号时，两个运算结果是等同的；
当A、B异号时，rem结果的符号和A的符号一样，而mod和B的符号一样。
区分详细可参考：取模运算(mod)和求余(rem)运算不能被混为一谈
②（（a mod n） × （b mod n））mod n ≡ （a×b） mod n
如果（a×b）=（a×c） mod n，且a与n互质，则b = c mod n

（3）、费马定理：

如果p是质数，a与p互质，则由a^(p-1) mod p = 1

（4）、欧拉定理：

欧拉函数ψ（n）表示不大于n且与n互质的正整数个数。当n为质数时，ψ（n）=n-1；当n=p * q，（p、q均为质数）时，ψ（n）=ψ（p） * ψ（q）=（p-1） * （q-1）

3、RSA密码算法的流程：

RSA密钥的产生，就需要用到以上的数论知识，我们来具体了解一下RSA密钥（N、E、D）的产生步骤：

（1）、产生N：

N = p * q，p和q是两个非常大的质数（一般来说为512bit，十进制为200位左右），大是因为为了质数的组合空间大，以保证选定的p和q不被轻易“猜出来”。p和q要是被知道了，则密码的破译工作就简单多了。

（2）、产生E：

E、p、q满足两个关系：
①1 < E < lcm（(p-1) , (q-1)），其中L = lcm（(p-1) , (q-1)）是p-1和q-1的最小公倍数（least common multiple）
②gcd（E，L）=1，gcd（E，L）为E和L的最大公约数，即E和 lcm（(p-1) , (q-1)）要互质（但E不一定为质数）。
由上面两个关系，或者说方程求解出来的E一般不止一个，而我们要用于RSA的E必须是从满足方程的E集合中随机取出的一个。

（3）、产生D：

D、E、L必须满足下列关系式：
①1 < D < L，这点和E是一样的
②E × D mod L = 1，上面提到E和L的最大公约数为1的目的就是为了让该方程有解。如果无解，就不存在前面分析时的K12和K22了，而全部是K??。
关于为什么，当E和L最大公约数是1时，D才会有解的问题，可以参考《图解密码技术》日，结城浩著的第一版：5.5时钟运算。

以上算是密钥对{E，N}、{D，N}的产生（我们只需要保存{D，N}不让其他人知道，并将加密程序和{E，N}公钥发送给需要进行通信的一方，就可以让对方的明文加密后只有自己能解密），而实际的加密解密就只有这两个公式：
Ciphertext = Plaintext^E mod N
Plaintext = Ciphertext^D mod N

注意：由于公式中存在次幂运算，而底数和幂数都十分大，所以数字的计算量十分庞大，虽然数字越大越安全（p、q越大，得到的N越大，破解时根据N来反推p、q空间的难度越大，毕竟到目前为止没有一个有效的办法进行N的分解因式），但是这也就意味着加密效率十分低下，而一般我们用混合加密只用RSA加密单钥密钥的密钥（几十到几百bit，比较小）。而不是加密明文信息。所以效率问题可以接受。

4、从algorithm到code的分析与实现：

实现真正的RSA比较麻烦，因为数字比较大，不能用普通的计算机数据类型来简单表示，而需要大数运算作为支撑。所以这里我们只进行小的质数p、q的密钥产生，以unsigned long作为“大数类型huge_t”。

我们具体分析的算法为，如何对一个大数的大数次幂再对大数取模的式子进行运算？比如99^111 mod 143。99的5次方就已经超过unsigned long的表示范围了，要计算99^111次方先不说效率问题，仅仅是结果溢出丢失真实数据就不能采用该方法，并且该方法的效率也是一个天大的问题，当A^B mod N的A、B、N都是200位整数时，效率问题更为突出。而解决方法为：二进制平方乘算法。

所谓二进制平方乘算法，就是根据依次降幂（二进制从高到低向右移位）对b的每一位进行操作。对于：a^b mod n，如何做呢？首先将b表示成二进制形式（本身就是二进制形式，操作用位运算即可），然后从最右边的位（bit）开始处理。对于b中的每个位，求出a的平方对n取模的结果并将这个结果赋给a。当遇到b中为1的bit时，就用当前a值乘以另外一个值y（初始值为1）对n取模的结果赋给y。一旦迭代至b的最高有效位，y的值就是a^b mod n的结果。
代码描述如下：

//a为输入的信息（明文或密文）、b为幂数（e或d）、n为模数//返回值为加密或解密后的密文或明文const huge_t ModExp(huge_t a, huge_t b, huge_t n){    huge_t y =1;//初始值为1    while(b != 0){//未至b最高位        if(b & 0X01){//如果该bit为1            y = (y * a) % n;//用当前a值乘以另外一个值y，赋给y        }        a = (a * a) % n;        b = b >> 1;    }    return y;}

整个计算过程中产生的最大值是a²，而不像原来的方法中最大值是a^b，小了不止一点。并且当数字为unsigned long类型时，循环只需要执行32次，而不是b次（b可能为上亿次，b为大数时则更是“天文”次循环）。效率提高的也不是亿万次可以形容的了。

加密测试（加密后的文件内容）：

解密测试：

关于整整个从素数产生到选取、秘钥计算、加密解密实现的三个部分的代码，由于文件过多只贴出加解密功能代码，测试用的所有文件（随机数产生、密钥计算）可以下载：RSA密码（需要1下载积分，如果没有下载积分而需要源码的朋友也可以邮箱联系索取）。并且由于这里实现只是用unsigned long实现的比较小的数，大数测试可能不能正确解密。

加密解密：

/* *Function:Test for encryption and descryption *Author:Kangruojin *Mail:[e-mail] *Time:2017年7月16日13:39:00 *Version:v1.2 **/#include "ende.h"int main(int argc, char * argv[]){    if(argc != 4){        ErrorOfInput(argv[0]);        return 0;    }    //注意：这里只是测试，这种类似与CBC的分组加密方式是不适合于RSA的    //RSA加密一般只有一组，即使有多组，也不应该采用CBC模式    if(0 == strcmp(argv[1],"-e")){        RsaEncrypt(argv[2], argv[3]);    }    else if(0 == strcmp(argv[1],"-d")){        RsaDecrypt(argv[2],argv[3]);    }    else{        ErrorOfInput(argv[0]);    }    return 0;}void ErrorOfInput(const char * str){    printf("请按格式输入运行：\n");    printf("%s -e 私钥e 私钥n\n",str);    printf("%s -d 公钥d 公钥n\n",str);}void RsaEncrypt(const char *argv2, const char *argv3){    huge_t ciphertext;    unsigned char plaintext;    RsaEK enk;    enk.e = (huge_t)atol(argv2);    enk.n = (huge_t)atol(argv3);    FILE * fpin = fopen("./message/plaintext.txt","rb");    FILE * fpout = fopen("./message/ciphertext.txt","wb");    assert(fpin != NULL);       assert(fpout != NULL);    fread(&plaintext, sizeof(plaintext), 1 ,fpin);//读取一个明文    while(!feof(fpin)){        //*ciphertext = plaintext^(enk->e) mod (enk->n)        ciphertext = ModExp((huge_t)plaintext, enk.e, enk.n);//加密一个字符        fwrite(&ciphertext, sizeof(ciphertext), 1, fpout);//写到秘文文件中        fread(&plaintext, sizeof(plaintext), 1 ,fpin);//读取下一个明文    }    printf("加密结束！\n");    fclose(fpin);    fclose(fpout);}void RsaDecrypt(const char *argv2, const char *argv3){    unsigned char plaintext,ciphertext;    RsaDK dnk;    dnk.d = (huge_t)atol(argv2);    dnk.n = (huge_t)atol(argv3);    FILE * fpin = fopen("./message/ciphertext.txt","rb");    FILE * fpout = fopen("./message/plaintextNew.txt","wb");    assert(fpin != NULL);       assert(fpout != NULL);    fread(&ciphertext, sizeof(ciphertext), 1 ,fpin);//读取一个秘文    while(!feof(fpin)){        //*plaintext = ciphertext^(dnk->d mod (dnk->n)        plaintext = ModExp((huge_t)ciphertext, dnk.d, dnk.n);//解密一个字符        fwrite(&plaintext, sizeof(plaintext), 1, fpout);//写到明文文件中        fseek(fpin, 3, SEEK_CUR);//加密文件中的四个字节中只有一个字节有效        fread(&ciphertext, sizeof(ciphertext), 1 ,fpin);//读取下一个秘文    }    printf("解密结束！\n");    fclose(fpin);    fclose(fpout);}const huge_t ModExp(huge_t msg, huge_t exp, huge_t mod){//平方乘算法    huge_t y =1;    while(exp != 0){        if(exp & 1){            y = (y*msg) % mod;        }        msg = (msg*msg)%mod;        exp = exp >> 1;    }    return y;}

参考资料推荐：
（1）、《应用密码学–协议算法与C源程序》[美]Bruce Schneier著 ，机械工业出版社【第19章：公开密钥算法】（RSA应用、性能、攻击分析等）。
（2）、《图解密码技术》[日]结城浩著，人民邮电出版社【第五章：公钥密码】（基本的图解流程）。
（3）、《算法导论》【第31章：数论算法】（基本的数论知识与RSA的指数运算的高效算法）。