0-1背包问题

0-1背包问题：有一个背包最多能装下体积为volume的东西，volume为一正整数。有number件物品，第j件物品重weight[j],价值value[j],其中1<j<=number,问应该装入那几样东西，使得背包中的物品最有价值？其中每件物品或被拿走，或不带走，不能只带走某件物品的一部分或者带走某件物品两次。

部分背包问题：在0-1背包问题中，如果某件物品可以带走一部分，那么我们称该问题是部分背包问题。

部分背包问题可以用贪心算法求解，也就是每次都带走单位价值最高的物品，但是0-1背包问题则不能用贪心算法来求解。例如有一个背包容量是5，有3件物品，重量分别是1,2,3；价值分别是60,100,120,；如果按照贪心算法来求解，那么就带走第1,2,两件物品，总价值是160，但是最大价值其实是220，也就是应该带走第2,3两件物品。

下面我们用动态规划和深度优先遍历两种方法来求解0-1背包问题。

法1：动态规划法

#include<iostream>using namespace std;//动态规划法解0-1背包问题int knapsack(int* weight,int* value,int number,int volume){int** f=new int*[volume+1];//f是一个双指针，指向一个二维数组，该二维数组用于记录动态规划填表过程 for(int i=0;i<=volume;i++)f[i]=new int[number+1];for(int i=0;i<=volume;i++)f[i][0]=0;//当物品数量是0个时，最大价值为0int** s=new int*[volume+1];//s是一个双指针，指向一个二维数组，该二维数组用于记录动态规划填表过程 for(int i=0;i<=volume;i++)//s[i][j]等于1表示当体积是i时第j件物品放入，等于0时表示不放入 s[i]=new int[number+1];for(int i=0;i<=volume;i++)s[i][0]=0;//当物品数量是0个时，没有东西可放 for(int j=1;j<=number;j++){for(int i=0;i<=volume;i++){if(weight[j]>i)f[i][j]=f[i][j-1];//如果第j件物品放不下，那么就只放前j-1件物品 else{if(f[i][j-1]>f[i-weight[j]][j-1]+value[j]){f[i][j]=f[i][j-1];s[i][j]=0;}else{f[i][j]=f[i-weight[j]][j-1]+value[j];s[i][j]=1;}}}}cout<<"最大价值是："<<f[volume][number]<<endl;        int i=volume;    int j=number;    while(i>=0&&j>=0)    {    if(s[i][j]==1)    {    cout<<weight[j]<<" ";    i-=weight[j];    j--;}elsej--;}            for(int i=0;i<=number;i++)    delete[] f[i];    delete[] f;//清理动态数组空间f for(int i=0;i<=number;i++)    delete[] s[i];    delete[] s;//清理动态数组空间s return 0;}int main(){cout<<"请输入物品的数量和背包的体积："<<endl;int number;//物品的数量 cin>>number;    int volume;//背包的体积  cin>>volume; int *weight=new int[number+1];cout<<"请输入物品的重量："<<endl;weight[0]=0;//当number为0的时候，也可以处理 for(int i=1;i<=number;i++)cin>>weight[i]; int *value=new int[number+1];cout<<"请输入物品的价值："<<endl;value[0]=0; //当number为0的时候，也可以处理 for(int j=1;j<=number;j++)cin>>value[j];knapsack(weight,value,number,volume);delete[] weight;delete[] value;return 0;}

深度优先遍历法：

我们利用深度优先遍历至每个叶子节点，求出A,B,C,D的全部组合，然后选出价值最大的方案。

解答树如下所示：

其中0表示放入，1表示不放。

#include<iostream>using namespace std;const int N=100;int ans=0;//利用全局变量ans保存解int item_number;//物品件数int knap_size;//背包大小int weight[N]; //物品重量int value[N];//物品价值int x[N];//解向量void dfs(int cur_depth,int cur_size,int cur_value) {//递归终止条件if(cur_depth>item_number) {if(cur_value>ans)ans=cur_value;return ;}    if(cur_size>knap_size) {return;}if(cur_value>ans)ans=cur_value;x[cur_depth]=0;dfs(cur_depth+1,cur_size,cur_value);//第cur_depth物品不取x[cur_depth]=1;dfs(cur_depth+1,cur_size+weight[cur_depth],cur_value+value[cur_depth]);//第cur_depth物品取}int main() {cout<<"请输入物品的件数："<<endl;cin>>item_number ;cout<<"请输入物品的重量:"<<endl;for(int i=0; i<item_number; i++) {cin>>weight[i];}cout<<"请输入物品的价值："<<endl;for(int j=0; j<item_number; j++) {cin>>value[j];}cout<<"请输入背包的容量："<<endl;cin>>knap_size;dfs(0,0,0);//调用dfs函数cout<<ans<<endl;return 0;}

例子：