欧几里得算法

  最大公约数的定义是什么？

  （小编希望读者和小编一样，在看到这样的问题时，能够亲自去查一下，以得到最精准的语言描述。）

  最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。

 

  我们都熟悉的就是短除法，因为小学就学过了，举个例子：求24和60的最大公约数。

  最大公约数为：2*2*3=12.

  今天要说的是欧几里得算法，也就是辗转相除法。

  两个不全为0的非负整数m和n的最大公约数记为gcd(m,n)，代表能够整除（即余数为0）m和n的最大正整数。古希腊数学家、亚历山大港的欧几里得（公元前3世纪）所著的《几何原本》，以系统论述几何学而著称，在其中的一卷里，他简要描述了这个最大公约数算法。用现代数学的术语来表述，欧几里得算法采用的方法是重复应用下列等式，直到m mond n等于0.

  gcd(m,n)=gcd(m,m mod n)

m的最后取值也就是m和n的初值的最大公约数。

  还是求24和60的最大公约数。

  gcd(60,24)=gcd(24,12)=gcd(12,0)=12

 

  我们用结构化的语言描述一下这个过程：

  1.如果n=0，返回m的值，同时过程结束；否则进入第二步。

  2.m除以n，将余数赋值给r。

  3.将n赋值给m，将r赋值给n，返回第一步。

  代码实现：

  

public static int getGreatestCommonDivisor(int m,int n){        while (n != 0){            int r = m % n;            m = n;            n = r;        }        return m;    }

  证明欧几里得算法的正确性。

  任何两个实数的最大公约数c都是存在的，我们设

      m = k1c

      n = k2c

      m mod n等价于存在整数r和k3使得

      r= m - k3n

  =k1c-k3k2c

  = (k1-k3k2)c

  所以，余数r一定是最大公约数c的倍数。

 

  为什么选择欧几里得算法？

  在这么多计算最大公约数的方法中，最适合写程序来实现的是欧几里得算法，因为判断是否为0和求余运算都是计算机很简单实现的，而像逐步求min{m,n}这样的算法，需要严格的规定算法输入的值域，否则当一个输入为0时，就会出现计算错误结果的情况；再比如短除法和质因数分解法，求质因数列表是不容易实现的，我们没有办法找出明确的步骤来求得一个质因数的列表。

  一个有趣的事实：欧几里得算法的最差输入恰巧是斐波那契数列中的连续元素，反过来验证一下，拿斐波那契数列中任何连续的两个元素，用欧几里得算法求最大公约数，结果都为1。