并查集

什么是并查集？

并查集是一种树型的数据结构，常用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。

并查集可以高效的进行如下操作：

• 合并两个不相同的集合
• 判断两个元素是否属于同一个集合

并查集常见操作

init()初始化所有元素独立为一个集合(即父节点是自身)

• 定义数组fa[],fa[x]存储x的父节点。
• 初始化所有元素的父节点为-1,若fa[x]=-1则代表元素x自身为一个集合。

void init(){    memset(fa,-1,sizeof(fa));//}

find()查找元素所在的集合返回根节点

• 如果x独立为一个集合，返回x，否则返回fa[x]。

  int find(int x){  if(fa[x]==-1) return x;  return find(fa[x]);}

  unite(x,y)合并两个不相同的集合

• 先找到x和y的代表元素。
• 如果相同，则说明x和y已经属于同一个集合，不用处理。
• 如果不同，将一个代表元素指向另一个代表元素。

void unite(int x,int y){    x=find(x);    y=find(y);    if(x==y) return;    fa[x]=y;}

same(x,y)判断两个元素是否属于同一个集合

• 分别找到x和y的代表元素。
• 如果相同，说明x和y属于同一个集合。

  bool same(int x,int y){  return find(x)==find(y);}

并查集的优化

路径压缩

寻找父节点是采用递归的方法，不采取任何判断的合并，树有可能会退化成一条链，每次find都会是O(n)的复杂度。所以必须进行路径压缩。在我们找到根节点的时候，直接把根节点作为它的父节点。

int find(int x){    if(fa[x]==-1) return x;    return fa[x=]find(fa[x]);}

按树的高度合并

合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度高的集合。

• 定义一个deep[]数组，默认只有一个节点的集合深度为0；
• 在unite()操作中，判断x和y的高度，将高度小的树连接到另一颗树的根节点上。

void unite(int x,int y){    x=find(x);    y=find(y);    if(x==y) return;    if(deep[x]<deep[y]) fa[x]=y;    else{        fa[y]=x;        if(deep[x]==deep[y]) deep[x]++;    }}

优化后的代码

int fa[N],deep[N];void init(){    memset(fa,-1,sizeof(fa));    memset(deep,0,sizeof(deep));}int find(int x){    if(fa[x]==-1) return x;    return fa[x=]find(fa[x]);}void unite(int x,int y){    x=find(x);    y=find(y);    if(x==y) return;    if(deep[x]<deep[y]) fa[x]=y;    else{        fa[y]=x;        if(deep[x]==deep[y]) deep[x]++;    }}bool same(int x,int y){    return find(x)==find(y);}