BFS 八数码问题 typedef int State[9]; （BFS A*算法与优先队列）

来源：互联网发布：百帝王啤酒知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/21 10:38

题目描述

八数码问题，即在一个3×3的矩阵中有8个数（1至8）和一个空格，现在要你从一个状态转换到另一个状态，每次只能移动与空格相邻的一个数字到空格当中，问题是要你求从初始状态移动到目标状态所需的最少步数。如下图所示。

初始状态目标状态

如上图所示的数据以矩阵形式给出。现在给出分别代表初始状态和目标状态的两个3*3的矩阵，请给出两个矩阵相互转化的最少步数。

输入

第1行-第3行：3个用空格分隔的整数，代表初始状态相应位置的数字，0代表空格
第4行-第6行：3个用空格分隔的整数，代表终止状态相应位置的数字，0代表空格

输出

第1行：一个整数，最小转换步数，如不能到相互转化则输出"Impossible"

样例输入

1 2 38 0 47 6 51 2 37 8 40 6 5

样例输出

可以通过BFS DFS来做

通过比较后发现我们采用BFS比较合理，因为DFS深度搜索下限不好设定，BFS按层搜索，只要不到目标状态就一直进行

如何表示状态呢？

将空格用0代替，然后9宫格成为了一串数字共有9！=362880

注意BFS的状态空间，有很多重复的状态，这时候就需要判重！！！

判重方法：

1）采用C++ STL中 set的特性，count来判断是否已经存在这样的状态，存在为1，不存在为0。但STL版本打时间效率最低

#include <cstdio>#include <cstring>#include <set>using namespace std;typedef int State[9];//State类型的const int MAXSTATE=1000000;State st[MAXSTATE],goal;// st为二维数组，goal为一维int dist[MAXSTATE]={0,0};set<int>vis;void init_lookup_table() {vis.clear();}int try_to_insert(int s){    int v=0;    for(int i=0;i<9;i++)      v=v*10+st[s][i];    if(vis.count(v)) return 0; //重复则为1，返回0    vis.insert(v);  //不重复，插入并返回1    return 1;}const int dx[]={-1,1,0,0};const int dy[]={0,0,-1,1};int BFS(){    init_lookup_table();//初始化判重的set    int front=1,rear=2;    while(front<rear){        State &s=st[front]; //得到队头的9个数，组成的数组        if(memcmp(goal,s,sizeof(s))==0) return front;        int z;        for(z=0; z<9; z++)            if(!s[z]) break;  //寻找z，z为空格        int x=z/3,y=z%3;  //将z从一维转换为二维        for(int d=0;d<4;d++){ //空格向四个方向扩展           int newx=x+dx[d];            int newy=y+dy[d];            int newz=newx*3+newy;//得到新的一维的z            if(newx>=0&&newx<3&&newy>=0&&newy<3){// 移动合法            State & t=st[rear];  //得到队尾的9个数u，组成的数组            memcpy(&t,&s,sizeof(s)); //扩展新状态            t[newz]=s[z];  //具体值变空格            t[z]=s[newz];  //空格变具体值            dist[rear]=dist[front]+1; //更新 新状态的距离值            if(try_to_insert(rear)) rear++; //如果不重复，则修改队尾指           }        }        front++; //扩展完毕，修改队首指针    }    return 0;}int main(){    for(int i=0 ;i<9;i++)        scanf("%d",&st[1][i]);    for(int i=0; i<9;i++)        scanf("%d",&goal[i]);    int ans=BFS();    if(ans>0) printf("%d\n",dist[ans]);        else printf("Impossible\n");    return 0;}

2）哈希表，设计一个哈希函数，然后将任意结点Xx映射到某个给定范围[0,M-1],M是程序员根据内存大小自己选用的，理想状态下，只要一个M大的数组即可完成判重，但此时会有不同的结点的哈希值相同，这种情况下把哈希值相同的状态转换成链表。（可以理解为通过哈希函数建立了很多条链表，有的链表上只有一个节点，有的却有多个）

#include <cstdio>#include <cstring>#include <set>using namespace std;typedef int State[9];const int MAXSTATE = 1000000;State st[MAXSTATE],goal;int dist[MAXSTATE];const int MAXHASHSIZE = 1000003;int head[MAXHASHSIZE],next[MAXHASHSIZE];void init_lookup_table(){    memset(head,0,sizeof(head));}int hash(State &s){    int v=0;    for(int i=0;i<9;i++)        v=v*10+s[i];    return v%MAXHASHSIZE;}int try_to_insert(int s){    int h=hash(st[s]); //多条链表,进行定位是第几条链表    int u=head[h];   //链表的状态 0为链表为空  其他的则为已经创建进入循环判断    while(u){       //u=0链表为空则直接跳过,否则从表头开始查找链表,（针对于产生冲突的）      if(memcmp(st[u],st[s],sizeof(st[s])==0))  //找到与之相同的，则插入失败         return 0;        u=next[u];     //顺着链表继续查找    }    next[s]=head[h];   //插入到链表当中，    head[h]=s;    return 1;}const int dx[]={-1,1,0,0};const int dy[]={0,0,-1,1};int BFS(){    init_lookup_table(); //初始化    int front=1,rear=2;  //定义头尾    while(front<rear){     State &s =st[front]; //取队头的9宫格     if(memcmp(goal,s,sizeof(s))==0) //判断是否找到目标     return front;     int z;     for(z=0;z<9;z++)        if(!s[z]) break; //寻找队头9宫格的空格     int x=z/3,y=z%3; //将一维的z转换成二维的     for(int d=0;d<4;d++) //向四个方向扩展     {         int newx=x+dx[d];         int newy=y+dy[d];         int newz=newx*3+newy; //得到了扩展之后的z（空格）         if(newx>=0&&newx<3&&newy>=0&&newy<3){          State &t=st[rear];//找个变量并且改变了尾指针指向的九宫格，下面把s的赋给了t          memcpy(&t,&s,sizeof(s));//构建变换之后的九宫格          t[newz] = s[z];  //把原先的具体值的位置换成空格          t[z]=s[newz];   //把原先的空格换成具体值          dist[rear]=dist[front]+1;//更新 新状态的具体值          if(try_to_insert(rear)) rear++;  //判断如果不重复，则入队列        }     }     front++;  //一个九宫格的扩展完成，出队列进行下一个    }}int main() {  for(int i = 0; i < 9; i++)    scanf("%d", &st[1][i]);  for(int i = 0; i < 9; i++)    scanf("%d", &goal[i]);  int ans = BFS();  if(ans > 0) printf("%d\n", dist[ans]);  else printf("-1\n");  return 0;}

参考《算法竞赛入门经典》 P199-202

代码值得学习的还有"引用"与"自定义",使得代码量减少

typedef int State[9];

State &s =st[front]; //取队头的9宫格

A*算法也可以应用到此题目，下面给出代码的思想：

这个题属于单个的起始状态到目标状态应用BFS，但是这里应用了A*算法+优先队列（BFS的优化启发式算法），优先处理最有可能到达目标状态的9宫格

启发式算法的估价函数 1：

启发式算法的估价函数2：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;struct eight{    int st[9],bh;    int step; //step表示步数    int g;    //g表示从起始状态到当前状态的代价    int h;    //h表示状态中不在位的方块数，若所有h=0,则为BFS    int f;    bool operator <(const eight &k)const{      if(f==k.f)         return g>k.g;  //若f值相同，g值小的优先      return f>k.f;     //若f值不同，则f小的优先    }}s,t;priority_queue<eight> que;int goal[9];int visited[362885],fact[9];int ans;int dirs[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};int bianHao(int s[9]){    fact[0]=1;    for(int i=1;i<9;i++)      fact[i]=fact[i-1]*i;    int code=0;    for(int i=0;i<9;i++){     int  cnt=0;     for(int j=i+1;j<9;j++)        if(s[j]<s[i])          cnt++;    code+=fact[8-i]*cnt;    }    return code;}int wrongPlaceNum(int a[9]){    int cnt=0;    for(int i=0;i<9;i++)      if(a[i]!=goal[i])        cnt++;    return cnt;}void Astar(){    eight t,t1;    while(!que.empty())    {        t=que.top(); que.pop();//取F值最小的队列元素        if(memcmp(goal,t.st,sizeof(t.st))==0){ans=t.step; break;} //找到目标状态返回        int z;        for(z=0;z<9;z++)            if(!t.st[z]) break;        int x=z/3,y=z%3;        for(int i=0;i<4;i++)        {            int newx=x+dirs[i][0];            int newy=y+dirs[i][1];            int newz=newz*3+newy;            if(newx>=0&&newx<3&&newy>=0&&newx<3)            {                memcpy(&t1,&t,sizeof(t));                t1.st[newz]=t.st[z];//9宫格的状态的变化                t1.st[z]=t.st[newz];                t1.bh=bianHao(t1.st);//计算编号用于判重                if(!visited[t1.bh]) //r若状态t1未访问过                {                    t1.g=t.g+1;                    t1.h=wrongPlaceNum(s.st);                    t1.f=t1.g+t1.h;                    t1.step=t.step+1;                    que.push(t1);//压入优先队列                    visited[t1.bh]=true;//标记                }            }        }    }}int jopl(int s[9])//检查奇偶形{   int cnt,total=0;   for(int i=0;i<9;i++)   {       cnt=0;       if(s[i]==0) continue; //忽略空格       for(int j=0;j<i;j++)       {           if(s[j]==0) continue; //忽略空格           if(s[j]<s[i]) cnt++;       }       total += cnt;   }    return total%2;}int main(){    for(int i=0;i<9;i++)        scanf("%d",&s.st[i]);    for(int i=0;i<9;i++)        scanf("%d",&goal[i]);    if(jopl(s.st)^jopl(goal)) //若两状态的奇偶排列属性不同    {        printf("Impossible\n");        return 0;    }    memset(visited,false,sizeof(visited));    s.g=s.step=0,s.bh=bianHao(s.st),s.h=wrongPlaceNum(s.st),s.f=s.g+s.h;    while(!que.empty()) que.pop();        que.push(s); visited[s.bh]=true;        ans=0;        Astar();        printf("%d\n",ans);    return 0;}

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