怎么通俗地理解张量

转载自   怎么通俗地理解张量？-知乎

作者：White Pillow
链接：https://www.zhihu.com/question/23720923/answer/32739132
来源：知乎
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如果能翻墙的话，强烈推荐该视频
https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw
讲的非常赞，思路清晰、通俗易懂。

对于不能翻墙的同学，我做个大致的内容摘要（多图）。

两点说明：
1、本人非数学物理专业出身……这方面也没深入研究过，所以一些翻译用词可能不当，欢迎批评指正~
2、可能前半部分有点啰嗦，主要是觉得视频太有爱了，不忍心删掉就都放上来了。

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Dan Fleisch是《AStudent’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他发现很大一部分读者都有一个疑问：到底张量是TMD什么东西? (What’s a tensor? ）

于是乎就做了这个视频，用12分钟来告诉你张量是什么。

<img src="https://pic1.zhimg.com/d54385ecb85935a5b474553a7871feec_b.jpg" data-rawwidth="515" data-rawheight="329" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="515" data-original="https://pic1.zhimg.com/d54385ecb85935a5b474553a7871feec_r.jpg">

想要了解张量（Tensor），首先需要对向量（Vector）有一个清晰的了解。

在我们的课本中，向量通常都是这样一个箭头……用来表示一个既有幅度（magnitude）又有方向（direction）的物理量，比如重力、磁力或者一个粒子的速度。这个箭头的长度表示幅度，箭头的指向表示方向。

<img src="https://pic2.zhimg.com/6f13122e9f03f9c11a76e4c957ed1931_b.jpg" data-rawwidth="514" data-rawheight="326" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="514" data-original="https://pic2.zhimg.com/6f13122e9f03f9c11a76e4c957ed1931_r.jpg">

此外，向量还可以用来表示一个平面，表示方法就是让向量代表垂直于这个平面的方向（法线方向）。

这么看来，向量可以表示很多东西：表示力、速度甚至平面，不过仔细想想向量也只表示了幅度（magnitude）与方向（direction）两个要素而已。

还有很多物理量用向量是没法表示的（后面会提到），向量其实是一个更广泛的表示方法的特例。对的，你猜对了，这个更广泛的方法就是张量（Tensor）。

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为了更好的解释张量是什么，有两个概念需要先搞清楚： 分量 (Components) 与基向量 (Basis Vectors）。

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为了搞清楚这个两个概念，我们要引入坐标系……

这里我们引入的是最常见的笛卡尔坐标系（Cartesiancoordinate system）

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说道坐标系，就一定要想到坐标系的基向量（coordinate basis vector）也称作unit vector，我们用这个小箭头来表示基向量。

基向量的长度是”1”，是你用来描述长度的基础单位。

基向量的方向是你的坐标系的坐标的方向。

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在这个坐标系中，在x,y,z轴方向分别有三个基向量。

现在我们有了坐标系（coordinatesystem）与基向量（basis vector），接下来可以确定分量（components）了。

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在这个例子中，那个大箭头向量由4个x基向量，3个y基向量与0个z基向量构成。

所以我们可以用4个x，3个y，0个z来表示那个大箭头向量。

<img src="https://pic3.zhimg.com/3bac5cd5763e6b7431d0148b651c452e_b.jpg" data-rawwidth="543" data-rawheight="308" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="543" data-original="https://pic3.zhimg.com/3bac5cd5763e6b7431d0148b651c452e_r.jpg">

大箭头可以拿走了，现在只需要3个数字（方块，注意方块上写着数字）与3个基向量（小箭头），我们就可以完全还原出大箭头的信息了。

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如果大家默认使用同一套基向量，那么基向量（小箭头）都不需要了，我们只需要4,3,0这三个数字（方块）就可以表示那个向量。

这三个数字（方块）就是向量的分量（components）。

<img src="https://pic2.zhimg.com/182c5217163fad9fdcf27eb70a724831_b.jpg" data-rawwidth="570" data-rawheight="322" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="570" data-original="https://pic2.zhimg.com/182c5217163fad9fdcf27eb70a724831_r.jpg">

此时，想要表示一个向量，只要给定这三个分量即可，它们怎么排列都可以，你也可以把他们立起来。

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如果加上两个括号，这就是我们在书上经常看到的向量的列表示……（笑cry了有木有）

<img src="https://pic2.zhimg.com/f4b853e6eda2bd1289d1a39a9fcb5199_b.jpg" data-rawwidth="620" data-rawheight="330" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="620" data-original="https://pic2.zhimg.com/f4b853e6eda2bd1289d1a39a9fcb5199_r.jpg">

总结一下，刚才那个桌子上的大箭头可以用这3个分量（components）与3个基向量（basisvector）表示。

（插一句：请原谅到此为止都讲的内容都是高中知识……因为很有爱啊~下面即将进入正题）

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推广一下，对于一个向量A来说，我们用Ax, Ay, Az来表示这三个分量，分别对应向量A在x,y,z基向量方向上的分量。

注意每个分量只有一个下标，因为每个分量只由一个基向量构成（onebasis vector per component），所以向量也称为1阶张量（Tensors of rank 1）。

相应的，标量（scalar）也称为0阶张量（Tensors of rank 0），因为标量没有方向，因此也就不存在基向量，可以说标量的每个分量是由0个基向量构成的。

下面来看更高阶的张量。

<img src="https://pic4.zhimg.com/6006b3159b320a658244423df19e155b_b.jpg" data-rawwidth="606" data-rawheight="327" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="606" data-original="https://pic4.zhimg.com/6006b3159b320a658244423df19e155b_r.jpg">

这是一个在3维空间中的2阶张量。

回顾一下，向量有3个基向量与3个分量。

而现在这里有9个基向量（那些小箭头）与9个分量（那些方块）。

<img src="https://pic3.zhimg.com/0871894049032f9c58da237b919334ba_b.jpg" data-rawwidth="538" data-rawheight="353" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="538" data-original="https://pic3.zhimg.com/0871894049032f9c58da237b919334ba_r.jpg">

注意现在每个分量有两个下标（例：Axy），而不是之前的一个了。

为什么要用两个下标呢？考虑这个例子：固体物体中某点的受力情况。

<img src="https://pic2.zhimg.com/cfc7c33f3330d48b4ecbbb68ee02e37d_b.jpg" data-rawwidth="561" data-rawheight="346" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="561" data-original="https://pic2.zhimg.com/cfc7c33f3330d48b4ecbbb68ee02e37d_r.jpg">

想象在该物体里有一个平面，这个平面的朝向需要用一个向量来表示，为了表示该向量需要引入1组（3个）基向量；

在每个平面上又有一个力，这个力则需要用第二个向量来表示，这样对于第一组中每个基向量又引入了第2组（3个）基向量与之组合。

于是就有了桌子上的那3*3个基向量组合。

如果想要表示所有的平面与平面上的力的组合，需要9个分量，每个分量有2个下标（index）来表示该分量由哪两个基向量组合构成。

例：Axx表示在法线为x方向的平面上的方向为x方向的力。

这9个分量与9个基向量共同组成了2阶张量。

<img src="https://pic4.zhimg.com/99f270b846013dae379fe25e6a99f9bb_b.jpg" data-rawwidth="591" data-rawheight="338" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="591" data-original="https://pic4.zhimg.com/99f270b846013dae379fe25e6a99f9bb_r.jpg">

继续进一步，这是一个3维空间中的3阶张量。

这个张量有27个基向量与27个分量。

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现在每个分量有3个下标，所有的下标组合共有3*3*3=27个，故共有27组基向量（见桌子上那3堆箭头方阵），不同基向量对应一个分量（那堆方块）。

<img src="https://pic3.zhimg.com/7c047f64cb79731dc39be8979a95744a_b.jpg" data-rawwidth="589" data-rawheight="339" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="589" data-original="https://pic3.zhimg.com/7c047f64cb79731dc39be8979a95744a_r.jpg">

现在可以做一个总结了，什么是张量以及为什么张量这么有用呢？

张量是一种表示物理量的方式，这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量（Combinationof basis vector and component）。

由于基向量可以有丰富的组合，张量可以表示非常丰富的物理量。

此外，张量所描述的物理量是不随观察者或者说参考系而变化的，当参考系变化时（其实就是基向量变化），其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合（也就是张量）保持不变。

考虑到张量有如此强大的表示能力，又不随观察者不同而变化，能够有效的表示宇宙间的万物，LillianR. Lieber给了张量一个形象的称呼the fact of theuniverse.