贝叶斯线性回归——推导及实现

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理论推导

贝叶斯推断

贝叶斯定理：通过观察到的数据D，把先验概率p(θ)转化为后验概率p(θ∣∣D)

p(θ∣∣D)=p(D∣∣θ)p(θ)∫p(D∣∣θ)p(θ)dθ=p(D∣∣θ)p(θ)p(D)

显然，分母是一个归一化常数，用来确保右侧的后验概率分布是一个合理的概率密度。故有p(θ∣∣D)∝p(D∣∣θ)p(θ) 即后验 ∝ 似然 ×先验 。

贝叶斯线性回归

问题是这样的，不能够一次性接收到整个数据集，而是不断接收到小的数据集Di,i=1,2,...,n，同时由于存储的限制不能存储已经接收到的所有数据集,每次可以处理的数据仅为Di。这就导致不能对所有数据做线性回归，但是可以通过贝叶斯线性回归达到同样的效果。

第 i 个数据集 Di 中有 m 个训练样本，构成 (X(i),y(i))

p(y(i)∣∣X(i),θ)=N(y(i);X(i)θ,I)∝exp(−12(y(i)−X(i)θ)T(y(i)−X(i)θ))

为了确定模型参数向量 θ 的后验分布
假设其先验分布

p(θ)=N(θ;μ0,Λ0)∝exp(−12(θ−μ0)TΛ−10(θ−μ0))

其中 μ0,Λ0 分别是先验分布的均值向量和协方差矩阵。通过贝叶斯回归得到的目标为θ 的期望。
模型参数的后验分布：

p(θ∣∣X(i),y(i))∝p(y(i)∣∣X(i),θ)p(θ)∝exp(−12(y(i)−X(i)θ)T(y(i)−X(i)θ))exp(−12(θ−μ0)TΛ−10(θ−μ0))∝exp(−12(−2y(i)TX(i)θ+θTX(i)TX(i)θ+θTΛ−10θ−2μT0Λ−10θ))

Λi=(X(i)TX(i)+Λ−10)−1,μi=Λi(X(i)Ty(i)+Λ−10μ0)

p(θ∣∣X(i),y(i))∝exp(−12(θ−μi)TΛ−1i(θ−μi))

缺点：

1 参数先验分布的不同假设形式，可能会带来计算上的不便。
2 参数先验分布的假设有偏，对于小数据会有较大的影响。

解决方法：

1 参数的先验分布假设为数据分布假设的共轭先验
共轭先验：对于一个给定的概率分布p(x∣∣w),能够寻找一个先验 p(w) 能够与似然函数共轭，从而后验分布的函数形式与先验分布相同。

Bern(x∣∣μ)=μx(1−μ)1−xBeta(μ∣∣a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa−1(1−μ)b−1

N(x∣∣m,Λ)N(m∣∣μ,Λ′)W(Λ∣∣W,v)=12π|Λ|exp(−12(x−m)TΛ−1(x−m))=12π|Λ′|exp(−12(m−μ)TΛ′−1(m−μ))=B|Λ|v−D−12exp(−12Tr(W−1Λ))

2 合理初始化，迭代求解
对于接收到的第1个数据集有：

Λ1=(X(1)TX(1)+Λ−10)−1,μ1=Λ1(X(1)Ty(1)+Λ−10μ0)

p(θ∣∣X(1),y(1))∝exp(−12(θ−μ1)TΛ−11(θ−μ1))

这里根据极大似然估计得到的解θ=(X(1)TX(1))−1X(1)Ty(1)，所以假设Λ−10=O, 此时极大似然的解和贝叶斯回归的参数期望一致。

对于接收到的第i 个数据集Di (i>1)，将第i−1 个数据集计算得到的参数后验作为先验，不断迭代。

Λi=(X(i)TX(i)+Λ−1i−1)−1,μi=Λi(X(i)Ty(i)+Λ−1i−1μi−1)

p(θ∣∣X(i),y(i))∝exp(−12(θ−μi)TΛ−1i(θ−μi))

具体算法

输入：D1,D2,D3,...,Dn 其中 Di=(X(i),y(i))
输出： μn
初始化

Λ1=(X(1)TX(1))−1μ1=Λ1(X(1)Ty(1))i+=1

while i<=n

Λi=(X(i)TX(i)+Λ−1i−1)−1μi=Λi(X(i)Ty(i)+Λ−1i−1μi−1)i+=1

代码

def BayesLR(path):    la=10    mu=np.mat(np.zeros(3)).T    gama=np.mat(np.eye(3)*la)    for i in range(n):        fileName = path + "%d.csv" % i        x0,y0 = loadDataFromFile(fileName)#从文件中加载数据        X, y = data2Mat(x0,y0)#将数据转换成np.mat的格式        mu0 = mu        gama0 = gama        if i==1:            gama = (X.T*X).I            mu = gama*(X.T*y)        else:            gama = (X.T*X+gama0.I).I            mu = gama*(X.T*y+gama0.I*mu0)    return np.array(mu)