层次聚类中用到的图论知识

p层次聚类是需要一点图论的理论知识，整理了一些网上的资料。
图（Graph）是在聚类分析中有多种用途的一种数学结构。
图是由两个集合构成，顶点的集合用V表示，代表被聚类的对象，V={vi}。边的集合用E表示，代表点之间的相互关系，E={ei}。这些点和边通过一个函数f关联起来，f将边映射到对应的点对上。因此图G可以表示为一个三元组，G=(V，E，f)。

多重边和环

若图G中，某个边e的两个端点相同，则称e是环，若两个点之间的边多于一条，则称这些边为多重边。一个无环，无多重边的图称为简单图，聚类中只用到简单图，不允许有环和多重边的出现。

子图（subgraph)

如果V’是V的一个子集，E’是E的一个子集，那么图H=（V’，E’，f’）就是图G=(V，E，f)的一个子图。可以看出子图H里面的顶点和边都是G中已有的。

上图的三个子图

连通图与连通分图(component)

图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，则称G是连通图，否则称为不连通图。若G是不连通图，它的每个连通的部分称为G的一个连通分图。上面三个子图都是不连通图。下面是一个不连通图的的2个连通分图。

完全图(complete graph)

若一个图的每一对不同顶点恰有一条边相连，则称为完全图。完全图是每对顶点之间都恰连有一条边的简单图。n个顶点的完全图有n个端点及n(n − 1) / 2条边。

最大完全子图

如果图H是图G的最大完全子图（maximal complete subgraph)，显然必须满足三个条件
一：H必须是G的一个子图（subgraph)
二：H必须是一个完全图（complete）
三：H不能是其它完全子图的子图，它得是最大的那个完全子图（废话）

在全连接算法里面我们会用到这个概念。

最大连接子图

最大连接子图（maximal connected subgraph)，其实就是上面介绍的连通分图（component)，在单连接算法中会用到。