UVALive4671 K-neighbor substrings

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参考文章http://blog.csdn.net/gatevin/article/details/46892383

题意：

给两个字符串a、b以及数k，求字符串a中与b Hamming距离小于等于k的不同子串的个数
（Hamming距离的定义为两个相同长度的字符串对应位置字符不同的位置数量，如“abbab”和”bbabb”的Hamming距离是3因为有3个字符不一样）

思路：

大概做过几道FFT的题，但是没想出来这个怎么用FFT，最后看了别人的博客学会的，确实用的巧妙
我们构造多项式，字符‘a’代表系数为0，字符‘b’代表系数为1，然后将字符串‘b’反着写，将两个多项式相乘，那么只有当两个字符串都是‘b’(因为我们记‘b’为1)时多项式多对应那一项结果的系数会+1，我们举一个例子：
字符串A：aabbab
字符串B：ab
多项式A：001101（左边代表低位，右边代表高位）
多项式B：010000—-000010（反着写）
两者相乘可得：000000011010
第七位代表A的子串‘aa’与B相同的字母个数，第八位代表A的子串‘ab’与B相同的字母个数，依此类推……

然后我们反着来一遍（‘a’代表系数为1，‘b’代表系数为0）
多项式A：110010（左边代表低位，右边代表高位）
多项式B：100000—-000001（反着写）
两者相乘可得：000000110010
含义同上

感觉非常巧妙，有点那种n+1 = 1+n=2+(n-1) + 3+(n-2)=……的感觉

这样我们枚举A的每一个子串，可以O(1)的求出该子串与B中不同的字母个数（子串长度-相同‘a’的个数-相同‘b’的个数），就知道了Hamming距离是不是小于K，对于不同子串这个要求，Hash一下利用set统计一下就可以了

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Result: Accepted Time: 2155ms
具体代码如下：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const double PI = acos(-1);const ll base = 163;const int maxn = 1e5+5;//maxn = max(len1,len2)const int maxm = 4*maxn;//k是>=maxn的最小的2的幂,maxm=2*kint xx[maxn], yy[maxn], len1, len2,len;//len1，len2分别为两个多项式的最高次数+1int num[maxm];int temp[maxn];int suma[maxm];int sumb[maxm];char a[maxn];char b[maxn];int lena,lenb;int k;int t;ll ha[maxn];ll p[maxn];set<ll> s;void init(){    ha[0] = 0;    int n = strlen(a+1);    for(int i = 1; i <= n; i++)        ha[i] = ha[i-1]*base+(a[i]-'a'+1);}ll get(int l, int r){    return ha[r]-ha[l-1]*p[r-l+1];}//复数结构体struct Complex{    double x, y;//实部为x，虚部为y    Complex(double x=0, double y=0):x(x),y(y){}    Complex operator+(const Complex &rhs) const { return Complex(x+rhs.x, y+rhs.y);}    Complex operator-(const Complex &rhs) const { return Complex(x-rhs.x, y-rhs.y);}    Complex operator*(const Complex &rhs) const { return Complex(x*rhs.x-y*rhs.y,x*rhs.y+y*rhs.x);}};Complex x1[maxm],x2[maxm];/*进行FFT和IFFT前的反转变换。将位置i和(i二进制反转后位置)互换。len必须取2的幂*/void change(Complex *x, int len){    Complex t;    for(int i = 1, j = len/2; i < len-1; i++)    {        //交换下标互反的元素，i<j保证交换一次        //i做正常的+1，j做反转的+1，始终保持i和j是反转的        if(i < j)        {            t = x[i];            x[i] = x[j];            x[j] = t;        }        int k = len / 2;        while(j >= k)        {            j -= k;            k >>= 1;        }        if(j < k) j += k;    }}/*做FFTlen必须为2的幂on==1时是DFT，on==-1时是IDFT*/void fft(Complex *x, int len, int on){    change(x, len);    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)    {        Complex wn(cos(-on*2*PI/h), sin(-on*2*PI/h));        for(int j = 0; j < len; j += h)        {            Complex w(1, 0);            for(int k = j; k < j+h/2; k++)            {                Complex u = x[k];                Complex t = w*x[k+h/2];                x[k] = u+t;                x[k+h/2] = u-t;                w = w*wn;            }        }    }    if(on == -1)        for(int i = 0; i < len; i++) x[i].x /= len;}void workFFT(){    len = 1;    memset(x1,0,sizeof x1);    memset(x2,0,sizeof x2);    memset(num,0,sizeof num);    while(len < len1*2 || len < len2*2) len <<=1;    for(int i = 0; i < len; i++)            x1[i] =  x2[i] = Complex(0,0);    for(int i = 0; i < len1; i++) x1[i] = Complex(xx[i],0);    for(int i = 0; i < len2; i++) x2[i] = Complex(yy[i],0);    fft(x1,len,1);    fft(x2,len,1);    for(int i = 0; i < len; i++) x1[i] = x1[i]*x2[i];    fft(x1,len,-1);    for(int i = 0; i < len; i++) num[i] = (int)(x1[i].x+0.5);}int main(){    p[0] = 1;    for(int i = 1; i <maxn; i++)        p[i] =p[i-1] * base;    while(scanf("%d",&k)&&k!=-1)    {        scanf("%s",a+1);        scanf("%s",b+1);        init();        s.clear();        memset(suma,0,sizeof suma);        memset(sumb,0,sizeof sumb);        memset(temp,0,sizeof temp);        memset(xx,0,sizeof xx);        memset(yy,0,sizeof yy);        lena = strlen(a+1);        lenb = strlen(b+1);        len1 = lena+1;        len2 = len1;        for(int i=1;i<=lena;i++)            xx[i] = a[i]-'a';        for(int i=1;i<=lenb;i++)            temp[i] = b[i]-'a';        for(int i=1;i<len2;i++)            yy[i] = temp[len1-i];        workFFT();        for(int i=0;i<len;i++)            sumb[i] = num[i];        for(int i=1;i<=lena;i++)            xx[i] = 1-xx[i];        for(int i=1;i<=lenb;i++)            temp[i] = 1-temp[i];        for(int i=1;i<len2;i++)            yy[i] = temp[len1-i];        workFFT();        for(int i=0;i<len;i++)            suma[i] = num[i];        for(int i=lenb;i<=lena;i++)            if(lenb-suma[lena+i-lenb+1]-sumb[lena+i-lenb+1]<=k)                s.insert(get(i-lenb+1,i));        printf("Case %d: %d\n",++t,s.size());    }}