leetcode 52. N-Queens II

终于做到N-皇后问题啦，激动！

Follow up for N-Queens problem.

Now, instead outputting board configurations, return the total number of distinct solutions.

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

我们可以用列数组、正斜线数组、反斜线数组来判断是否该列、该正斜线、该反斜线是否已有皇后。（因为row一直是从0到n-1来顺序遍历，所以不需要行数组）其中判断列数组是否已有皇后很简单，直接判断columns[j]==1即可，那斜线数组如何判断呢？

左边的图中，每一条斜线中的格子，我们发现 i + j 都是一模一样的。（i是行数，j是列数）对于八皇后问题，i + j 的范围为 [ 0,14 ]
右边的图中，每一条斜线上的格子，我们发现 i - j 都是一模一样的。对于八皇后问题，i + j 的范围为 [ -7 , 7]
那么，我们可以设立正斜线数组和反斜线数组，来存储某个斜线是否被占用。数组的length为2*n-1，则index范围为 [ 0 , 2*n-2 ]。
对于某个点 ( i , j ) 来说，算出其在正斜线数组中的index很简单，就是 i + j . 那么其在反斜线数组中的index怎么算呢？我们看八皇后数组中反斜线头尾的两条线上的格子：
     格子的坐标                      在反斜线数组中的index
\    (0,7)                                 0-7+8-1=0
\\   (0,6)  (1,7)                        0-6+8-1=1
...................................................................................
\\   (6,0)  (7,1)                        6-0+8-1=13
\    (7,0)                                 7-0+8-1=14
（因为数组为[2*n-1]，即size是15，那么index不得超过14）
因此， ( i , j ) 在反斜线数组中的index可以表示为 i - j + n - 1

至此，已可以写出解答：

package leetcode;public class N_Queens_II_52 {int n;int[] column;int[] leftUpToRightBottom;//从左上角到右下角的(不是线的起点终点，是趋势)：/一道道下去int[] rightUpToLeftBottom;//从右上角到左下角的(是趋势):\一道道下去int count=0;public int totalNQueens(int n) {this.n=n;column=new int[n];leftUpToRightBottom=new int[2*n-1];rightUpToLeftBottom=new int[2*n-1];backTrack(0);return count;}public void backTrack(int i){//i是row,j是columnif(i==n){count++;return;}for(int j=0;j<n;j++){int zheng=i+j;int fan=i-j+n-1;if(column[j]==0&&leftUpToRightBottom[zheng]==0&&rightUpToLeftBottom[fan]==0){column[j]=1;leftUpToRightBottom[zheng]=1;rightUpToLeftBottom[fan]=1;backTrack(i+1);column[j]=0;leftUpToRightBottom[zheng]=0;rightUpToLeftBottom[fan]=0;}}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubN_Queens_II_52 n=new N_Queens_II_52();System.out.println(n.totalNQueens(8));}}

leetcode上大神的解法都跟我差不多。百度百科里八皇后的解法还print出了最终的那几个八皇后结果：

public class Queen {// 同栏是否有皇后，1表示有private int[] column;// 右上至左下是否有皇后private int[] rup;// 左上至右下是否有皇后private int[] lup;// 解答private int[] queen;// 解答编号private int num;public Queen() {column = new int[8 + 1];rup = new int[(2 * 8) + 1];lup = new int[(2 * 8) + 1];for (int i = 1; i <= 8; i++)column[i] = 0;for (int i = 1; i <= (2 * 8); i++)rup[i] = lup[i] = 0; // 初始定义全部无皇后queen = new int[8 + 1];}public void backtrack(int i) {if (i > 8) {showAnswer();} else {for (int j = 1; j <= 8; j++) {if ((column[j] == 0) && (rup[i + j] == 0) && (lup[i - j + 8] == 0)) {// 若无皇后queen[i] = j;// 设定为占用column[j] = rup[i + j] = lup[i - j + 8] = 1;backtrack(i + 1); // 循环调用column[j] = rup[i + j] = lup[i - j + 8] = 0;}}}}protected void showAnswer() {num++;System.out.println("\n解答" + num);for (int y = 1; y <= 8; y++) {for (int x = 1; x <= 8; x++) {if (queen[y] == x) {System.out.print("Q");} else {System.out.print(".");}}System.out.println();}}public static void main(String[] args) {Queen queen = new Queen();queen.backtrack(1);}}