考研数学——高数18讲

例3.19

函数y=ln(1−2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=?.

(1) 由于y=ln(1−2x)无穷阶可导，则可以先将其抽象展开为

y=∑n=0∞y(n)(0)n!xn;

(2) 又由于

y(0)=0,y′(x)=−21−2x=−2∑n=0∞(2x)n=−∑n=0∞2n+1xn,

所以

y(x)−y(0)=∫x0y′(x)dx=−∑n=0∞2n+1n+1xn+1=−∑n=1∞2nnxn,

于是可得

y(x)=−∑n=1∞2nnxn;

也可以由 的幂级数展开式可以直接得到(2)式：

ln(1+狗)=∑n=1∞(−1)n−1狗nn

(3)根据函数展开式的唯一性，比较(1), (2)中公式的系数，则有

y(n)(0)n!=−2nn,y(n)(0)=−2n(n−1)!.