三种常用构图方式

这篇博客讲的不是按像素计算的图片或者摄影摄像的构图，而是节点与节点之间有边、边上有权值的图，如何把这样的一张图存入计算机中。这里将介绍三种较为常用的构图方式：邻接矩阵、vector 数组和链式前向星构图。
首先要弄清楚的一点是，计算机存图，存的是什么？包含两部分：节点和边，每个节点都有自己相应的信息，例如在一个战争时期军人的调度问题，每个城池拥有的军人数量，或者染色问题上节点的颜色等等，这些就是节点上的信息。每条边上的信息就比如说是路程、路费，从这个节点出发的目标节点等等。一般来说节点和边是要分两个结构体Node 和Edge 来存的，但是很多题目基本上只有边的信息，节点基本没有信息，所以有时候可以不用写节点的结构体，如果边没有权值等其他信息，只需要知道一条边连接的是哪两个节点，连边的结构体也不用写了。这里只讨论有向图的一般情况。

邻接矩阵构图

无权图

邻接矩阵用第u 行第v 列为1 表示从u 到v 有一条边，用0 表示从u 到v 没有直接相连的边。

有权图

先设定一个无穷大数∞，则用第u 行第v 列为一非无穷大数值weight 表示从u 到v 之间，边的权值为weight ，为一无穷大数∞ 则表示从u 到v 没有直接相连的边或者不可达。
在图没有经过任何处理的情况下，∞ 表示“无直接相连的边”，如果已经处理出全图的最短路径，则∞ 表示“不可达”，故可以根据处理出全图最短路径后的图是否存在∞ 的边来判断全图是否连通，当然判断连通图有更快的并查集的做法，不推荐上面这种方法来判断图的连通性。

图上加边代码

struct Edge {    int weight;     // 权值};Edge G[maxn][maxn];void add(int u, int v, int w) {    G[u][v].weight = w;}

遍历u 点的目标节点代码

void traversal(int u) {    for(int i = 0; i < n; ++i) {    // n 为图上实际节点数        visit(G[u][i]);    }}

邻接矩阵性质

• 初始状态下，第u 行所有非0/∞ 的列所对应的节点，即从u 出发能够到达的所有节点，其数量即u 的出度，第v 列所有非0/∞ 的行对应的节点，即能够到达v 的所有节点，其数量即v 的入度。
• 如果整张图有n 个节点，则邻接矩阵构图的空间复杂度为O(n2)，在图上宽搜和深搜的时间复杂度都为O(n2)。这种构图方式适用的算法：floyd 多源最短路径算法，该算法的时间复杂度为O(n3)，编程难度较低，适用于图上节点数200 以下的图。
• 除了需要用floyd 查找多源最短路径，其他情况均不推荐这种构图方式。

vector 数组构图

数据结构课本上提到过邻接链表构图，大意如下：
先定义一个链表数组，该数组下标对应图上所有节点，如果节点u 添加一条到v 的边，则在数组第u 个链表后面添加一条指向v 节点的边。
对于图

如果加边顺序如下（u v w）：
[AE45][AB3][BE40][CA21][AC20][BC15][DB20][DE35][ED30][CD20]
其邻接矩阵表示为：
G[A]−>[E45]−>[B3]−>[C20]−>NULL
G[B]−>[E40]−>[C15]−>NULL
G[C]−>[A21]−>[D20]−>NULL
G[D]−>[B20]−>[E35]−>NULL
G[E]−>[D30]−>NULL
可以看到，图上有多少条边，就只需要多少内存，不会像邻接矩阵那样有大量的空间浪费。
C++ 的STL 为我们提供了强大的容器类，使得我们不必手打链表、可变长数组等，所以我们可以直接用已经写好的类。但是为什么用vector 而不用list 呢？因为在算法题中时间是很重要的，动态开辟内存会带来很大的时间开销，因此我们更经常用vector 数组来代替链表数组，以节约时间上的开销。

图上加边代码

struct Edge {    int weight;         // 权值    int to;             // 终点节点下标    Edge(int w, int t) {        weight = w;        to = t;    }    Edge() {}};vector<Edge> G[maxn];void add(int u, int v, int w) {    G[u].push_back(Edge(w, v));}

遍历u 点的目标节点代码

void traversal(int u) {    int len = G[u].size();    for(int i = 0; i < len; ++i) {        visit(G[u][i]);    }}

vector 数组性质

• G[u].size() 即节点u 的出度，想要求节点v 的入度时间复杂度为O(e)，e 为图上所有边的数量，如果需要建议在建图的时候就用一个degin 辅助数组来存放所有节点的入度。
• 边的存储顺序与加边顺序有关
• 如果图上有e 条边，vector 数组的空间复杂度为O(e)，宽搜和深搜的时间复杂度都为O(e)，其他算法的时间复杂度由算法的优化程度决定，vector 数组构图不会增加算法的时间复杂度。
• vector 数组构图代码较短效率较高，推荐使用该方式。

链式前向星构图

在链式前向星之前还有一种叫前向星的构图方式，该方法在加完所有边后还需要进行一次排序，时间复杂度为O(eloge)，其中e 为图上所有边的数量，链式前向星是该方式的改进，这里不展开讨论。
链式前向星将所有边存在一个Edge 数组中，并在边上加了一个next 数据成员，表示与该边同起点的下一条边、在该数组中的下标。是的，链式前向星存的边并不是连续的，并不是将同起点的所有边存在一起，而是像链表一样，在一条边中存着下一条边的地址（数组下标）。
那么在所有的边中，怎么找到最开始的那条边呢？这里需要一个head 数组，来存放所有相同起点的第一条边所在下标，为代码简洁明了，实际上head 数组存放的是：当前起点最后添加进去的边的下标，而边的next 数据成员，指向的是：在加这条边之前，最后加进去的一条边的下标（也就是head 数组对应的值），而这个下标必然是小于当前边的下标的，所以next 数据成员实际上存放的是比当前边的下标更小的值，也就是“向前指向下一条边”，而存储边的方式又是链式的，链式前向星就是这个意思。
而最先加入的那一条边指向的下标是-1，所以head 数组应初始化为-1。
如果可以知道边的数量（一般题目会给边的数量的范围），更建议用边数组的写法，而不是vector 可变长数组，因为动态开辟空间的速度不如在静态全局区申请快。

图上加边代码

memset(head, -1, sizeof(head));    // main 函数中的预处理struct Edge {    int weight;         // 权值    int to;             // 终点节点下标    int next;           // 下一条边的下标    Edge(int w, int t, int n) {        weight = w;        to = t;        next = n;    }    Edge() {}};// vector 写法vector<Edge> E;int head[maxn];void add(int u, int v, int w) {    E.push_back(Edge(w, v, head[u]));    head[u] = E.size() - 1;}// 定长数组写法Edge E[maxm];           // maxm 为题目给定的最多的边数int head[maxn];int cnt;void add(int u, int v, int w) {    E[cnt].weight = w;    E[cnt].to = v;    E[cnt].next = head[u];    head[u] = cnt++;}

遍历u 点的目标节点代码

void traversal(int u) {    for(int i = head[u]; i != -1; i = E[i].next) {        visit(E[i]);    }}

链式前向星性质

• 图上所有点的入度与出度需要用另外的数组来维护，如果在解题过程中需要对节点进行排序，请将head、deg 数组作为Node 结构体的数据成员。
• 链式前向星是速度最快的存图方式，代码量相比于vector 数组稍长四五行，但也有一些弊端：如果不能事先知道图上边最多有多少条，就要按照完全图开数组或者用vector，在这一点上空间的浪费相比于vector 数组要大。
• 其他性质与vector 数组第2、3 点相同。