直方图均衡化算法原理与实现

工作后，对原来学习的一些基本图像处理算法有了一些新的认识，比如Canny 算法，直方图均衡化算法等，今天就来说说直方图均衡化算法。

直方图均衡化原理

我们知道提高图像对比度的变换函数f(x)需要满足一下条件：

1. f(x)在0<=x<=L−1上单调递增(不要求严格单调递增),其中L表示灰度级（L=256）
2. f(x)的范围是[0,L−1]

我们知道当图像直方图完全均匀分布的时候，此时图像的熵是最大的（随机变量每个值的概率都相同时，概率最大），图像对比度是最大的。所以，理想情况下，图像经过变换函数f(x)变换后，直方图能够均匀分布，此时对比度是最大的。

那问题来了？怎样的变换函数具有如此神奇的功能呢？[1]P74中给出了答案。 
在图像处理中，有一个重要的函数，能够满足上面的条件： 

y=f(x)=(L−1)∫x0px(t)dt

英文原版中P145中的表述为： 

其中px(x)表示概率密度函数，在离散的图像中，表示直方图的每个灰度级的概率（在图像中，灰度级就可以看成是一个随机变量，而直方图就是该随机变量的概率密度函数），由概率论的知识，我们可以知道，变换函数f(x)其实就是连续型随机变量x的分布函数，表示的是函数下方的面积。

分布函数的两个性质：1.单调不减 2.值域为[0,1]，我们可以知道f(x)满足条件1和2

有人可能会有这个疑问？图像是离散的，为什么可以用连续的来表示呢？从数学角度来看，离散是连续的一种特例（图像就是一个很好的例子）。

下面我们证明变换后的直方图是均匀的。 
由概率论知识，变换后的概率密度： 

py(y)=px(x)|(f−1(y))′|

由变上限函数求导法则可知

f(x)′=(L−1)px(x)

反函数的导数等于原函数导数的倒数，所以 

(f−1(y))′=1(L−1)px(x)

所以 

py(y)=1L−1

看到了吧，变换后的概率密度函数是一个均匀分布，对于图像来说，就是每个灰度级概率都是相等的，达到了我们的目的。 
下面我们需要将这个变换函数转换为图像中的表达，图像中，我们可以知道，可以使用求和代替积分，差分代替微分，所以上述的变换函数就是： 

y=f(x)=(L−1)∑0xih(xi)w×h

其中h(xi)表示直方图中每个灰度级像素的个数， w和 h分别表示图像的宽和高。

直方图均衡化算法实现

void GetHistogram(const Mat &image, int *histogram){memset(histogram, 0, 256 * sizeof(int));//开辟内存空间//计算直方图int pixelCount = image.cols*image.rows;uchar *imageData = image.data;for (int i = 0; i <= pixelCount - 1; ++i){int gray = imageData[i];histogram[gray]++;}}void EqualizeHistogram(const Mat &srcImage, Mat &dstImage){CV_Assert(srcImage.type() == CV_8UC1);dstImage.create(srcImage.size(), srcImage.type());// 计算直方图int histogram[256];GetHistogram(srcImage, histogram);// 计算分布函数(也就是变换函数f(x))int numberOfPixel = srcImage.rows*srcImage.cols;int LUT[256];LUT[0] = 1.0*histogram[0] / numberOfPixel * 255;int sum = histogram[0];for (int i = 1; i <= 255; ++i){sum += histogram[i];LUT[i] = 1.0*sum / numberOfPixel * 255;}// 灰度变换uchar *dataOfSrc = srcImage.data;uchar *dataOfDst = dstImage.data;for (int i = 0; i <= numberOfPixel - 1; ++i)dataOfDst[i] = LUT[dataOfSrc[i]];}