Codeforces #39C: Moon Craters 题解

这道题一看就是dp，但感觉不知道怎样dp

刚开始想了一个dp[i]表示在前i个圆里面选互不重叠的最多能选几个，把圆先按右端点排序。但是圆的大小的任意性使得dp不正确

后来想了一个非常复杂的dp

先按圆的右端点从小到大排序，右端点相同的按半径大小从小到大排序，这样保证在考虑到第i个圆的时候，他不可能被前面的圆包含或是内切于前面的圆

对排序后的圆数组先做两个预处理：

1.对于圆i，记录右端点在它的左端点左边且离它左端点最近的圆的编号（有点拗口），若有多个距离相等记录半径最大的一个，记该数组为nleft[i]

2.对于圆i，记录左端点在它的左端点右边且离它左端点最近的圆的编号，若有多个距离相同随便记录一个，记该数组为nright[i]

这两个预处理都可以用set+upper_bound之类的技术搞定

然后记dp[i][j]为当前考虑到第i个圆，取的所有圆中最左边的圆的左边界在圆数组中第j个圆的左边界之右，满足上述条件能取到的最多的圆的个数（好复杂的状态啊）

转移就是看第i个圆取不取

如果第i个圆不取，显然dp[i][j]=dp[i-1][j]

如果第i个圆取，首先应该满足第i个圆的左端点在第j个圆的左端点之右。由排序的方法可知他不可能被前面的圆包含或是内切于前面的圆，所以能取到的最多的圆一方面是在第i个圆的左端点左边的一系列圆，也就是dp[nleft[i]][j]，另一方面是被圆i包含的一系列圆，也就是dp[i-1][nright[i]]，由dp的状态得，左端点相同的圆所对应的j的dp值应该是一样的，所以nright[i]在记录的时候随便记哪个都行

总结一下,dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][nright[i]]+dp[nleft[i]][j]）

O(nlogn)的预处理，O(n*n)的状态数，O(1)的转移，所以总复杂度是O(n*n)

感觉写的很乱啊。。。贴代码吧

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <string>#include <cmath>#include <algorithm>#include <cstdlib>#include <utility>#include <map>#include <stack>#include <set>#include <vector>#include <queue>#include <deque>#define x first#define y second#define mp make_pair#define pb push_back#define LL long long#define Pair pair<int,int>#define LOWBIT(x) x & (-x)using namespace std;const int zero_stand=1500;const int MOD=1e9+7;const int INF=0x7ffffff;const int magic=348;int n;struct node{int x,y;int num;}a[2048];int dp[2048][2048];pair<pair<int,int>,pair<int,int> >fa[2048][2048];bool used[2048][2048];int ind[2048];int l[2048],r[2048];int nleft[2048],nright[2048];set<Pair> s;set<Pair>::iterator iter;bool cmp(node x,node y){if (x.x+x.y!=y.x+y.y) return x.x+x.y<y.x+y.y;return x.y<y.y;}void print(int x,int y){if (used[x][y]) printf("%d ",a[x].num);if (fa[x][y].x!=mp(-1,-1)) print(fa[x][y].x.x,fa[x][y].x.y);if (fa[x][y].y!=mp(-1,-1)) print(fa[x][y].y.x,fa[x][y].y.y);}int main (){int i,j;scanf("%d",&n);for (i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);a[i].num=i;}sort(a+1,a+n+1,cmp);//for (i=1;i<=n;i++) cout<<a[i].x<<' '<<a[i].y<<endl;for (i=1;i<=n;i++){l[i]=a[i].x-a[i].y;r[i]=a[i].x+a[i].y;}for (i=1;i<=n;i++) s.insert(mp(r[i],i));for (i=1;i<=n;i++){iter=s.lower_bound(mp(l[i],INF));if (iter==s.begin()) nleft[i]=-1; else nleft[i]=(*--iter).y;}s.clear();for (i=1;i<=n;i++) s.insert(mp(l[i],i));//for (iter=s.begin();iter!=s.end();iter++) cout<<iter->x<<' '<<iter->y<<endl;for (i=1;i<=n;i++){s.erase(mp(l[i],i));iter=s.lower_bound(mp(l[i],0));if (iter==s.end()){nright[i]=-1;s.insert(mp(l[i],i));continue;}nright[i]=iter->y;s.insert(mp(l[i],i));}//for (i=1;i<=n;i++) cout<<nleft[i]<<' '<<nright[i]<<endl;for (j=1;j<=n;j++){if (a[1].x-a[1].y>=l[j]) {dp[1][j]=1;used[1][j]=true;}else {dp[1][j]=0;used[1][j]=false;}fa[1][j]=mp(mp(-1,-1),mp(-1,-1));}//for (j=1;j<=n;j++)//cout<<dp[1][j]<<endl;pair<pair<int,int>,pair<int,int> > ff;for (i=2;i<=n;i++)for (j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];fa[i][j]=mp(mp(i-1,j),mp(-1,-1));used[i][j]=false;if (a[i].x-a[i].y<l[j]){//fa[i][j]=ff;//dp[i][j]=0;continue;}ff=mp(mp(-1,-1),mp(-1,-1));int res=0;if (nright[i]!=-1) {res+=dp[i-1][nright[i]];ff.x=mp(i-1,nright[i]);}if (nleft[i]!=-1){res+=dp[nleft[i]][j];ff.y=mp(nleft[i],j);}res++;if (res>dp[i][j]){dp[i][j]=max(dp[i][j],res);fa[i][j]=ff;used[i][j]=true;}}int ans=-1,pos;for (j=1;j<=n;j++) if (dp[n][j]>ans){ans=dp[n][j];pos=j;}printf("%d\n",ans);print(n,pos);return 0;}