[日常训练] 树形图计数

【问题描述】

小k同学最近正在研究最小树形图问题。所谓树形图，是指有向图的一棵有根的生成树，其中树的每一条边的指向恰好都是从根指向叶结点的方向。现在小k在纸上画了一个图，他想让你帮忙数一下这个图有多少棵树形图，树形图必须包括所有点。

【输入格式】

第1行输入1个正整数：n，表示图中点的个数
第2~n+1行每行输入n个字符，描述了这个图的邻接矩阵。第i+1行第j个字符如果是0则表示没有从i连向j的有向边，1表示有一条从i到j的有向边。

【输出格式】

输出1行1个整数，表示这个有向图的树形图个数。

【输入输出样例】

count.in
4
0100
0010
0001
1000

count.out
4

【数据范围】

对于50%的数据，n<=4。
对于100%的数据，n<=8。

【分析】

• 首先看到数据范围n≤8想到搜索
• 因为子节点有多个，每次搜索子节点显然是很难实现的，我们考虑搜索每个节点的父节点
• 若节点y能够成为节点x的父节点，它必然要满足两个条件：
  [1]、存在边y→x
  [2]、当前y不为x的子孙
• 对于条件[1]，我们可以直接反着建边（x→y），则搜索时就能很方便地访问到节点y
• 对于条件[2]，我们记sum[x]表示一个二进制数，若第i位上为1，i为x的子孙，则y就要满足sum[x] & 2y=0。
• 那么当我们在当前的树上连边y→x时，x及x的子孙都要算入y及y的祖先的sum中，同理：回溯时，x及x的子孙都要从y及y的祖先的sum中扣除，两者可用位运算中的或和异或实现。

【代码】

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int N = 10, M = 100;int fa[N], sum[N], n, x, Ans;struct Edge{    int to; Edge *nxt;}p[M], *T = p, *lst[N];inline void addEdge(const int &x, const int &y){    (++T)->nxt = lst[x]; lst[x] = T; T->to = y;} inline void Dfs(const int &x, const int &rt){    int y, w;    if (x == rt) Dfs(x + 1, rt);    if (x > n) return (void)(++Ans);    for (Edge *e = lst[x]; e; e = e->nxt)    {        y = e->to;        if (sum[x] & (1 << y)) continue;        fa[x] = w = y;        int tmp = sum[x] | (1 << x);        while (w) sum[w] |= tmp, w = fa[w];        Dfs(x + 1, rt);        fa[x] = 0; w = y;        while (w) sum[w] ^= tmp, w = fa[w];    }}int main(){    freopen("count.in", "r", stdin);    freopen("count.out", "w", stdout);    scanf("%d", &n);    for (int i = 1; i <= n; ++i)     for (int j = 1; j <= n; ++j)     {        scanf("%1d", &x);        if (x) addEdge(j, i);     }    for (int i = 1; i <= n; ++i) Dfs(1, i);    printf("%d\n", Ans);    fclose(stdin); fclose(stdout);    return 0;}