数据结构--------图

一、图的定义：

1、基本定义

      一个图G=(V，E)由顶点集V 和 边集E组成  ，G表示图，V表示图中顶点的集合，E表示图中边的集合

      图中的数据元素为 顶点（vertex），并且不允许有空图即图中必须要有顶点

      每一个点对（v，w），其中v w属于V。无向图中称为边；有向图中称为弧，表示变成<v，w>；即无向图边用圆括号（）表示，有向图边用尖括号<>表示

      有时候边还有第三种成分，称作权值

     

 简单图：在图中不存在顶点到其自身的图，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图

 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图        含有n个顶点的无向完全图边条数为n(n-1)/2

 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的的两条弧，则该图为有向完全图   含有n个顶点的有向完全图弧个数n(n-1)

稀疏图：

稠密图：

网：带权值的图通常称作网

子图：

2、图的顶点与边间的关系

顶点v的度：是和v相关联的边的数目    入度：以顶点v为头的弧的数目称为入度   出度：以顶点v为尾的弧的数目称为出度

无向图中从顶点v到v'的路径是一个顶点的序列，路径长度是路径上的边或弧的数目

第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或者环，序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径

除第一个顶点和最后一个顶点外，序列中顶点不重复出现的回路称为简单回路或者简单环

3、连通图相关术语

连通图：两个顶点有路径，称两顶点连通，任意两个顶点都是连通的，则该图为连通图。

如果顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的

无向图中的极大连通子图称为连通分量，强调以下几点：

（1）、要是子图 （2）、子图要是连通的（3）、连通子图含有极大顶点数（4）、具有极大顶点数的子图包含这些顶点的所有边

有向图中的强连通图：有向图G中，对于每一对vi,vj属于V，且vi 不等于vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G为强连通图

有向图中的极大强连通子图称作称作有向图的强连通分量

连通图的生成树：连通图生成树是一个极小连通子图，含有图中n个顶点，但只有足以构成树的n-1条边

有向树：若一个有向图恰有一个顶点的入度为0（相当于根结点），其余顶点入度为1（非根结点的双亲只有一个），则是一棵有向树

有向图生成森林：若干棵有向树组 构成

4、图的存储结构

（1）邻接矩阵

邻接矩阵存储方式：用两个数组来表示图，一个一维数组来存储顶点信息，一个二维数组( 邻接矩阵 )存储图中的边或者弧

假设图G中含有n个顶点，则邻接矩阵是一个nXn的方阵，定义为：

.......................

（2）邻接表

邻接矩阵虽然是一种不错的图存储结构，但是如果是稀疏图，那么就是对存储空间的极大浪费

因此引出图的第二种存储结构，邻接表

邻接表：链表与数组相结合的存储方法称为邻接表

图中顶点用一维数组来存储

（3）十字链表法

对于有向图来说，邻接表是有缺陷的，因为如果你关心了出度问题，想了解入度就必须遍历整个图才能知道，反之关心了入度问题，出度也必须要遍历整个图

有向图一种有效的存储方法，十字链表：把邻接表和逆邻接表结合起来

（4）邻接多重表

对于无向图来说，如果关注边的操作（例如边的删除），也需要对邻接表进行改造

删除边非常的方便

（5）边集数组

定义：两个一维数组构成，一个一维数组存储顶点信息，一个一维数组存储边的信息，边数组每个数据元素由一条边的起点、终点、权值组成

边集数组关心的是边的操作，查找某个顶点的度需要遍历整个数组，因此不适合对顶点的相关操作

二、图的遍历

定义：从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程叫做图的遍历。

设置一个访问数组，来标记该顶点是否已经被访问过了，visited [ n ]，n为图中顶点的个数，初值设为0，若访问过设为1

为了避免因回路陷入死循环，因此需要科学的设计两种遍历次序方案：深度优先搜遍历和 广度优先遍历

1、深度优先遍历

类似于树的前序遍历

2、广度优先遍历

类似于树的后序遍历

具体的代码实现可见 大话数据结构

深度优先遍历和广度优先遍历两者根本上是没有优劣之分的，只不过是不同的方法论而已，深度注重找到，深入细致；广度注重最优，走马观花

三、最小生成树

定义：把构造连通网的最小代价生成树称之为 最小生成树

找连通网的最小生成树，有两种经典算法：

1、普里姆算法（Prim）

已经完全理解了，下一步就是会用该算法

2、克鲁斯卡尔算法（Kruscal）

四、最短路径

网图最短路径含义：两个顶点之间经过的边上的权值之和最小的路径，路径上第一顶点称为源点，最后一个顶点称为终点

非网图最短路径含义：两个顶点之间经过的边数最少

有两种求最短路径的算法

1、迪杰斯特拉算法（Dijkstra）

输入一个起点，求出该起点到其余点的最短路径

讲的比较好的一个博客地址为：http://blog.csdn.net/lhj884/article/details/47307111

2、弗洛伊德算法（Floyd）

求任意两点之间的最短路径

讲的比较好的一个博客地址为：http://blog.csdn.net/LHJ884/article/details/47304481

五、拓扑排序

定义：

设G=（V,E）是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列为V1，V2，..................Vn，满族若从顶点 Vi 到 Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必在顶点Vj之前，我们称这样的顶点序列为拓扑排序。