【平价数据】GAN用于半监督学习

Salimans, Tim, et al. “Improved techniques for training gans.” Advances in Neural Information Processing Systems. 2016.

概述

GAN的发明者Ian Goodfellow2016年在Open AI任职期间发表了这篇论文，其中提到了GAN用于半监督学习(semi supervised)的方法。称为SSGAN。
作者给出了Theano+Lasagne实现。本文结合源码对这种方法的推导和实现进行讲解。1

半监督学习

考虑一个分类问题。
如果训练集中大部分样本没有标记类别，只有少部分样本有标记。则需要用半监督学习(semi-supervised)方法来训练一个分类器。

wiki上的这张图很好地说明了无标记样本在半监督学习中发挥作用：

如果只考虑有标记样本（黑白点），纯粹使用监督学习。则得到垂直的分类面。
考虑了无标记样本（灰色点）之后，我们对样本的整体分布有了进一步认识，能够得到新的、更准确的分类面。

核心理念

在半监督学习中运用GAN的逻辑如下。

• 无标记样本没有类别信息，无法训练分类器；
• 引入GAN后，其中生成器(Generator)可以从随机信号生成伪样本；
• 相比之下，原有的无标记样本拥有了人造类别：真。可以和伪样本一起训练分类器。
  

举个通俗的例子：就算没人教认字，多练练分辨“是不是字”也对认字有好处。有粗糙的反馈，也比没有反馈强。

原理

框架

GAN中的两个核心模块是生成器(Generator)和鉴别器(Discriminator)。这里用分类器(Classifier)代替了鉴别器。

训练集中包含有标签样本xl和无标签样本xu。
生成器从随机噪声生成伪样本If。
分类器接受样本I，对于K类分类问题，输出K+1维估计l，再经过softmax函数得到概率p：其前K维对应原有K个类，最后一维对应“伪样本”类。
p的最大值位置对应为估计标签y。

softmax(xi)=exp(xi)∑jexp(xj)

三种误差

整个系统涉及三种误差。

对于训练集中的有标签样本，考察估计的标签是否正确。即，计算分类为相应的概率：

Llabel=−E[lnp(y|x)]

对于训练集中的无标签样本，考察是否估计为“真”。即，计算不估计为K+1类的概率：

Lunlabel=−E[ln(1−p(K+1|x))]

对于生成器产生的伪样本，考察是否估计为“伪”。即，计算估计为K+1类的概率：

Lfake=−E[lnp(K+1|x)]

推导

考虑softmax函数的一个特性：

softmax(xi−c)=exp(xi−c)∑jexp(xj−c)=exp(xi)/exp(c)∑jexp(xj)/exp(c)=softmax(xi)

即，如果输入各维减去同一个数，softmax结果不变。
于是，可以令l→l−lK+1，有lK+1=0，p=softmax(l)保持不变。

期望号略去不写，利用explK+1=1，后两种代价变为：

Lunlabel=−ln[1−p(K+1|x)]=−ln⎡⎣∑Kj=1explj∑Kj=1explj+explK+1⎤⎦=−ln⎡⎣∑j=1Kexplj⎤⎦+ln⎡⎣1+∑j=1Kexplj⎤⎦

Lfake=−ln[p(K+1|x)]=ln⎡⎣1+∑j=1Kexplj⎤⎦

上述推导可以让我们省去lK+1，让分类器仍然输出K维的估计l。

对于第一个代价，由于分类器输入必定来自前K类，所以可以直接使用l的前K维：

Llabel=−ln[p(y|x,y<K+1)]=−ln⎡⎣exply∑Kj=1explj⎤⎦=−ly+ln⎡⎣∑j=1Kexplj⎤⎦

引入两个函数，使得书写更为简洁：

LSE(x)=ln⎡⎣∑j=1expxj⎤⎦

softplus(x)=ln(1+expx)

三个误差：

Llabel=−ly+LSE(l)

Lunlabel=−LSE(l)+softplus(LSE(l))

Lfake=softplus(LSE(l))

优化目标

对于分类器来说，希望上述误差尽量小。引入权重w，得到分类器优化目标：

LD=Llabel+w2(Lunlabel+Lfake)

对于生成器来说，希望其输出的伪样本能够骗过分类器。生成器优化目标与分类器的第三项相反：

LG=−Lfake

实验

本文的实验包含三个图像分类问题。分类器接受图像x，输出K类分类结果l。生成器从均匀分布的噪声z生成一张图像x。

MNIST

10分类问题，图像为28*28灰度。

生成器是一个3层线性网络：

分类器是一个6层线性网络：

训练样本60K个，测试样本10K个。
选择不同数量的训练样本给予标记，考察测试样本中错误个数。使用不同随机数种子重复10次：

有标记样本 20 50 100 200 占比 0.033% 0.083% 0.17% 0.33% 错误个数 1677±452 221±136 93±6.5 90±4.2

Cifar10

10分类问题，图像为32*32彩色。

生成器是一个4层反卷积网络：

分类器是一个9层卷积网络：

训练样本50K个，测试样本10K个。
选择不同数量的训练样本给予标记，考察测试样本中错误个数。使用不同的测试/训练分割重复10次：

有标记样本 1000 2000 4000 8000 占比 2% 4% 8% 16% 错误个数 21.83±2.01 19.61±2.09 18.63±2.32 17.72±1.82

SVHN

10分类问题，图像为32*32彩色。

生成器（上）以及分类器（下）和CIFAR10的结构非常类似。

训练样本73K，测试样本26K。
选择不同数量的训练样本给予标记，考察测试样本中错误个数。使用不同的测试/训练分割重复10次：

有标记样本 500 1000 2000 占比 0.68% 1.4% 2.7% 错误个数 18.84±4.8 8.11±1.3 6.16±0.58

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1. USC的Shao-Hua Sun也给出了一个Tensorflow实现。但没有处理训练集中的无标签样本，个人认为对原文理解有偏差。 ↩