四边形不等式优化dp

关于四边形不等式优化dp的一点理解

我其实应该先学好几何证明 orz

前导算法
区间dp
基础几何证明

算法干嘛
当区间dp 代价函数满足fun(i,j)+fun(i',j')<fun(i',j)+fun(i,j')时
通过减少 类区间dp 的决策区间，将其O(n^3) 的复杂度化为O(n^2)

算法思路
区间合并时候，如果代价函数满足fun(i,j)+fun(i',j')<fun(i',j)+fun(i,j')时，具有一些优秀的性质
定理一：fun(i,j)+fun(i',j')<fun(i',j)+fun(i,j') 其中 i<=i'<=j<=j'
定理二：设 s(i,j) 是 dp(i,j) 的策变量的最大值，那么 s(i,j)单调 s(i,j-1)<=s(i,j)<=s(i+1,j)
可到到： s(i,j-1)<=k<=s(i+1,j)
优化了决策空间
具体证明看这里。

算法阶段
1.枚举子区间长度 每次做2
2.枚举子区间开始位置 每次做3
3.遍历决策空间 每次做4
4.更新最优解 和 决策变量的最大值

个人感觉
好用不好懂

模板

int fun(int i,int j){ //代价函数 须符合四边形不等式    return sum[j]-sum[i-1];}int calcul(){    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int len=1;len<=n;len++){ //枚举区间长度        for(int i=1;len+i-1<=n;i++){//枚举起始点            int j=i+len-1; //对应的中点            int a=s[i][j-1];//决策区间下界            int b=s[i+1][j];//决策区间上界            if(len==1) {                s[i][j]=i;                continue;            }            for(int k=a;k<=b;k++){//寻找最优决策                if(dp[i][j]>=dp[i][k]+dp[k+1][j]+fun(i,j)||dp[i][j]==0){                    s[i][j]=k;//记录最优决策最大值                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+fun(i,j);                }            }        }    }}

这些题大家可以练习（遇到补充）

1.石子合并 nyoj737
求合并石子的最小代价，O(n^3)可过
我写的题解