【数据结构】树状数组笔记

树状数组（Binary Indexed Tree, BIT）

转自大牛 柳婼 の blog https://www.liuchuo.net/archives/2268

• 本质上是按照二分对数组进行分组，维护和查询都是O(lgn)的复杂度
• 树状数组与线段树：树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。

• lowbit
  • lowbit = x & (-x)
  • lowbit(x)也可以理解为能整除x的最大的2的幂次

• c[i]存放的是在i号之前（包括i号）lowbit(i)个整数的和（即：c[i]的覆盖长度是lowbit(i) ）
• 树状数组的下标必须从1开始

单点更新，区间查询

int getsum(int x)函数：返回前x个整数之和

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int getsum(int x) {

  int sum = 0;

  for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(x))

    sum += c[i];

  return sum;

}

• 如果要求[x, y]之内的数的和，可以转换成getsum(y) – getsum(x – 1)来解决

void update(x, v)函数：将第x个数加上一个数v

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voidupdate(intx,intv){

  for(inti=x;i<=n;i+=lowbit(x))

    c[i]+=v;

}

经典应用：统计序列中在元素左边比该元素小的元素个数

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#include <cstdio>

#include <cstring>

const int maxn = 10010;

#define lowbit(i) ((i) & (-i))

int c[maxn];

void update(int x, int v) {

  for(int i = x; i < maxn; i += lowbit(i))

    c[i] += v;

}

int getsum(int x) {

  int sum = 0;

  for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i))

    sum += c[i];

  return sum;

}

int main() {

  int n, x;

  scanf("%d", &n);

  for(int i = 0; i < n; i++) {

    scanf("%d", &x);

    update(x, 1);

    printf("%d\n", getsum(x - 1));

  }

  return 0;

}

如果是求序列第k大的问题：

可以用二分法查询第一个满足getsum(i) >= k的i

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intfindKthElement(intk){

  intl=1,r=maxn;mid;

  while(l<r){

    mid=(l+r)/2;

    if(getsum(mid)>=K)

      r=mid;

    else

      l=mid+1;

  }

  returnl;

}

如果给定一个二维整数矩阵A，求A[1][1]~A[x][y]这个子矩阵中所有元素之和，以及给单点A[x][y]加上整数v：

只需把getsum和update函数中的for循环改为两重

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int c[maxn][maxn];

void update(int x, int y, int v) {

  for(int i = x; i < maxn; i += lowbit(i)) {

    for(int j = y; j < maxn; j += lowbit(j)) {

      c[i][j] += v;

    }

  }

}

 

int getsum(int x, int y) {

  int sum = 0;

  for(int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) {

    for(int j = y; j >= 1; j -= lowbit(j))

      sum += c[i][j];

  }

  return sum;

}

区间更新，单点查询

• 将getsum改为沿着i增大lowbit(i)的方向
• 将update改为沿着i减小的lowbit(i)的方向
• c[i]不再表示这段区间的元素之和，而是表示这段区间每个数被加了多少
• int getsum(int x)返回第x个整数的值（就是从小块到大块累加一共被增加了多少）

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intgetsum(intx){

  intsum=0;

  for(inti=x;i<maxn;i+=lowbit(i))

    sum+=c[i];

  returnsum;

}

• void update(int x, int v)是将前x个整数都加上v

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void update(int x, int v) {

  for(int i = x; i >= 0; i -= lowbit(i))

    c[i] += v;

}

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• 所以，~~i从x往后是从小块更新到大块c[i]，i从x往前是累加前面的覆盖块的值~

1057. Stack (30)-PAT甲级真题（树状数组）

• 求栈内所有元素的中位数：用排序查询的方法会超时~~~用树状数组，即求第k = (s.size() + 1) / 2大的数。查询小于等于x的数的个数是否等于k的时候用二分法更快~

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#include <cstdio>

#include <stack>

#define lowbit(i) ((i) & (-i))

constintmaxn=100010;

usingnamespacestd;

intc[maxn];

stack<int>s;

voidupdate(intx,intv){

    for(inti=x;i<maxn;i+=lowbit(i))

        c[i]+=v;

}

intgetsum(intx){

    intsum=0;

    for(inti=x;i>=1;i-=lowbit(i))

        sum+=c[i];

    returnsum;

}

voidPeekMedian(){

    intleft=1,right=maxn,mid,k=(s.size()+1)/2;

    while(left<right){

        mid=(left+right)/2;

        if(getsum(mid)>=k)

            right=mid;

        else

            left=mid+1;

    }

    printf("%d\n",left);

}

intmain(){

    intn,temp;

    scanf("%d",&n);

    charstr[15];

    for(inti=0;i<n;i++){

        scanf("%s",str);

        if(str[1]=='u'){

            scanf("%d",&temp);

            s.push(temp);

            update(temp,1);

        }elseif(str[1]=='o'){

            if(!s.empty()){

                update(s.top(),-1);

                printf("%d\n",s.top());

                s.pop();

            }else{

                printf("Invalid\n");

            }

        }else{

            if(!s.empty())

                PeekMedian();

            else

                printf("Invalid\n");

        }

    }

    return0;

}