HDU 1576-A/B(扩展欧几里得算法)

A/B

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Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

 

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

 

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

 

Sample Input

21000 5387 123456789

 

Sample Output

79226060
//扩展欧几里得算法，用逆元求除法取模//对于求除法取模，(a/b)%c = (a*ni)%c,其中ni是b与c的逆元//逆元的求法是扩展欧几里得算法，exged(b,c,x,y),最终的x便是b与c的逆元#include <stdio.h>int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){if(b==0){x = 1;y = 0;return a;}int r = exgcd(b, a%b, x, y);int t = x;x = y;y = t-a/b*y;return r;}int main(){int T;scanf("%d", &T);while(T--){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);int x, y;exgcd(b, 9973, x, y);int ans = (a*x)%9973;if(ans>=0)            printf("%d\n", ans);        else            printf("%d\n", ans+9973);}return 0;}



最后，总结一下扩展欧几里得能干什么

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
 至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
代码如下：
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y){    int d=exgcd(a,b,x,y);    if(c%d)        return false;    int k=c/d;    x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解    return true;}

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：(我还不是很懂)
    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
可以学习一下：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

（3）用欧几里德算法求模的逆元：（可以用来求除法取模，即(a/b)%c==a*ni(b,c)%c）
       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
      ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。