匈牙利算法&模板

一、引言

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是二分图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

二、相关概念

http://blog.csdn.net/feynman1999/article/details/76032229

http://blog.csdn.net/feynman1999/article/details/76037603

总结：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。如下图是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配、完全匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。如下图中的一条增广路如图所示（图中的匹配点均用红色标出）：

                           

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。

三、算法轮廓

（1）置M为空

（2）找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配

  

代替M

（3）重复（2）操作直到找不出增广路径为止

具体步骤为：

• 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。

• • 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
  • 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。

• 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而BFS 版本使用 prev 数组。

四、算法模板

// 顶点、边的编号均从 0 开始// 邻接表储存struct Edge{    int from;    int to;    int weight;    Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}};vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */vector<Edge> edges;typedef vector<int>::iterator iterator_t;int num_nodes;int num_left;int num_right;int num_edges;

DFS版本

int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */int check[__maxNodes];bool dfs(int u){    for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点        int v = edges[*i].to;        if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中            check[v] = true; // 放入交替路            if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {                // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功                matching[v] = u;                matching[u] = v;                return true;            }        }    }    return false; // 不存在增广路，返回失败}int hungarian(){    int ans = 0;    memset(matching, -1, sizeof(matching));    for (int u=0; u < num_left; ++u) {        if (matching[u] == -1) {            memset(check, 0, sizeof(check));            if (dfs(u))                ++ans;        }    }    return ans;}

BFS版本

queue<int> Q;int prev[__maxNodes];int Hungarian(){    int ans = 0;    memset(matching, -1, sizeof(matching));    memset(check, -1, sizeof(check));    for (int i=0; i<num_left; ++i) {        if (matching[i] == -1) {            while (!Q.empty()) Q.pop();            Q.push(i);            prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点            bool flag = false; // 尚未找到增广路            while (!Q.empty() && !flag) {                int u = Q.front();                for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {                    int v = edges[*ix].to;                    if (check[v] != i) {                        check[v] = i;                        Q.push(matching[v]);                        if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点                            prev[matching[v]] = u;                        } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路                            flag = true;                            int d=u, e=v;                            while (d != -1) {                                int t = matching[d];                                matching[d] = e;                                matching[e] = d;                                d = prev[d];                                e = t;                            }                        }                    }                }                Q.pop();            }            if (matching[i] != -1) ++ans;        }    }    return ans;}

性能比较

两个版本的时间复杂度均为O(V⋅E)

DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。

五、补充定义和定理

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目

最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择

最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连

最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数