动态规划（dynamic programming）

什么是动态规划？

给定该数组arr，arr中所有的值都为整数且不重复。每个值代表一种面值的货币。每种面值的货币可以使用任意张。再给定给一个整数aim代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。

暴力搜索方法(利用递归)的缺点在于有很多的重复计算。比如：arr={5,10,25,1}已经使用0张5元和1张10元的情况下，后序将求：p1(arr,2,990).

当已经使用2张5元和0张10元的情况下，后续还是要求p1(arr,2,990).因为有很多的重复计算，所以暴力搜索的时间复杂度非常高！！

记忆搜索方法：重复计算的原因在于每一次的递归结果都没有记录下来，所以每一次都要重复计算。

暴力搜索方法的函数p1(arr,index,aim)其中arr是始终不变的，而index和aim是变化的，并且可以代表递归过程。p(index,aim)。

1. 利用哈希表map，每计算完一个p(index,aim)都讲结果放入map中，index和aim组成共同的key，返回结果为value。

2. 要进入一个递归过程p(index,aim),先以index和aim的key在map中查询是否已经存放value，如果存在，则直接取值，如果不存在，才进行递归计算。

下面是记忆搜索方法的代码实现：

因为本题的递归过程可以由两个变量进行表示，index和aim，所以只需要申请二维的map就可以。二维数组map[i][j]的结果代表p(i,j)的返回结果，每次进入下一次递归之前，都要先查询map是否计算过，如果计算过直接取出来用就可以。

记忆搜索方法与动态规划方法的联系：

1. 记忆化搜索方法就是某种形态的动态规划方法。复杂度也是o(aim*aim)

2. 记忆化搜索方法不关心到达某一个递归过程的路径，只是单纯地对计算过的递归过程进行记录，避免重复的递归过程。

3.动态规划的方法则是规定好每一个递归过程的计算顺序，依次进行计算，后面的计算过程严格依赖前面的计算过程。

4. 两者都是空间换时间的方法，也都有枚举的过程。区别在于动态规划规定计算顺序，而记忆搜索不用规定。

动态规划方法：

1. 其本质是利用申请的空间来记录每一个暴力搜索的计算结果。下次要用的结果的时候直接使用，而不在进行重复的递归过程。

2. 动态规划规定给每一种递归状态的计算顺序，依次进行计算。

对于上面的动态规划来说，因为不用进行枚举过程，直接使用公式dp[i][j]=dp[i][j-arr[i]]+dp[i-1][j]，所以时间复杂度少了一个aim，变成了o(N*aim).

面试中遇到的暴力递归题目可以优化成动态规划方法的大体过程：

1. 实现暴力递归方法。

2. 在暴力搜索方法的函数中看看哪些参数可以代表递归过程。

3. 找到代表递归过程的参数之后，记忆化搜索的方法非常容易实现。只需要将递归过程的参数整体当做key，递归过程的值当做value，放到map中就可以了。

4. 通过分析记忆化搜索的依赖路径，进而实现动态规划。（简单的可以先得到的先计算，大部分情况下为map的第一行和第一列。）

5. 通过记忆化搜索方法改出动态规划方法，进而看看是否能化简，如果能化简，还能实现时间复杂度更低的动态规划方法。（比如说是否能推出公式）